复变函数的导数ppt课件

复变函数 任群北京理工大学理学院 1 第二章解析函数 本章首先介绍连续函数与函数导数的概念 重点研究解析函数 并探讨了解析函数与调和函数的关系 最后介绍几个基本的初等函数 2 2 1复变函数的导数 一 导数的概念及其求导法则二 微分的定义及其可微的充要条件 3 1 导数的定义 一 导数的概念及其求导法则 4 注意 5 解 6 解 7 8 2 可导与连续的关系 函数f z 在z0处可导 则在z0处一定连续 但函数f z 在z0处连续不一定在z0处可导 9 10 3 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致 同时 复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样 因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中 且证明方法相同 此处略 求导公式与法则 11 12 由此可以看出 复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样 它们的一些求导公式与求导法则也一样 然而 复变函数的导数要求极限存在与变量z趋于z0的方式无关 这与二元实函数的极限相一致 是否可以说明复变函数的导数就是两个二元实函数的导数 上节例2说明问题不是那么简单 13 1 可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系 二 微分的定义及其可微的充要条件 14 令 15 则 且 反过来可容易证明 16 与一元函数类似地 记 17 2 充要条件 Cauchy Rieman简介 18 定理 设函数在区域D内确定 则函数在点可导的充分必要条件是 与在可微 在的导数为条件 常称为柯西 黎曼条件 C R 条件 柯西 黎曼条件方程 C R 方程 19 20 推论 设 若和在的四个一阶偏导函数在点均连续并且满足C R方程 则在点处可导 注意 1 在点可微等价于它在该点可导 但不等价于其实部函数与虚部函数在点可微 2 一个二元实函数在某点可微的充分条件是 它的两个一阶偏导数在该点不仅存在 而且是连续 21 判别可导性 P33 4 3 判断函数f z zRe z 在哪些点可导 哪些点连续 f z zRe z x2 ixy u x2 v xy f z 在整个复平面连续 C R方程2x x 0 y仅有解x 0且y 0 又因u x y v x y 在点 0 0 可微 所以f z 仅在点z 0处可导 22 Q研究在的可导性 说明在上面定理中的可微性不可去 Q判别函数的可导点 23 例1试证函数 n为自然数 在复平面上处处可导 且 证用定义来证明 对于复平面上的任意一点z 由导数定义有于是 在点z的导数存在且等于 由点z在复平面上的任意性 证得在复平面上处处可导 函数在复平面解析 24 例2设定义在复平面上 试证于复平面上仅在原点可导 证用定义来证明 若 则因所以 在点可导 25 若 则有令 于是有由于上式当在过点z平行于虚轴的直线上趋于 即 时 其极限为x 而当在过点z平行于实轴的直线上趋于 即 时 其极限为 所以 当时 不存在 故在点处不可导 26 于复平面上仅在原点可导 可证得函数在复平面上处处不可导 该函数在复平面上是一个处处连续 但又处处不可导的函数 27 用L Hospital法则求型的极限 证 说明 1 当而时 极限为无穷大 2 当时 可继续用L Hospital法则求极限 3 的情形 可用把问题转化为求的极限 如 28 1789 8 21生于法国 巴黎1857 5 23卒于法国 斯科 A L Cauchy 柯西 简介 数学分析严格化的开拓者 复变函数论的奠基人 弹性力学理论的建立者 在方程 群论 数论 几何 光学 天体力学等也有出色贡献 多产的科学家 800多篇论文 分析大师 29 Riemann 黎曼 简介 1826 9 17生于德国 汉诺威1866 7 20卒于意大利 除博士论文外 生前发表10篇论文 遗作10多篇 对现代数学影响最大的数学家之一 开创了复变函数论 代数函数论 常微分方程解析理论 解析数论 实分析 级数理论 几何学 数学物理等重大突破 30