二进制M序列的原理及其应用.ppt

二进制M序列的原理及其应用PrincipleandApplicationofbinaryM sequences 内容概要 第一篇M序列的应用及新应用开拓第二篇M序列的基本属性和相关概念第三篇M序列测量系统的理论基础第四篇M序列探测系统特性的仿真实验 第一篇 M序列一些应用 目前 M序列主要应用在数字通信领域 这是因为M序列具有伪随机噪声特性 而且其自相关函数具有类冲激性质 如 1 作为伪随机序列信号源 2 扩频通信中用于对码源信号的调制 3 以及数字电视中对码流信号进行能量扩散 4 对数据序列的扰乱与解扰及其通信中的加密 5 多址通信中的信号辨识等等 然而 由于M序列具有更多优良的特性 而且自然界可以构造更多优良属性的M序列 因此目前在国外M序列已经得到了更广泛的应用 本文要论述的是M序列在探测复杂多变的环境特性的原理 讲述在测量复杂环境其具有的卓越性能 M序列的新应用 M序列作为一种激励信号 具有较高的信号功率和较低的尖峰因子 结合M序列对间卓越的互相关机制 用M序列在测量中可得到一较高的抗噪声性能 近来可以发现此M序列测量技术在很多领域得到了应用 如在野外探测 未知环境的系统识别 建筑声学领域 听力学领域 超声波领域 心理声学领域 水下声学领域以及在物理声学领域等等 这些高级M序列测量技术的理论基础就是一种专称为快速M序列变换 FMT 的快速算法 本文要对此算法作出详细介绍M序列还可以在数字通信 信号处理 雷达 声纳 听力学 建筑声学等众多跨学科的应用中去开辟更多的用武之地 一些新应用场景 1 一些新应用场景 2 一些新应用场景 3 第二篇 M序列的产生及其基本概念 M序列是最大长度线性移位寄存器序列的简称 将n个移位寄存器串接起来 在时钟控制下 寄存器的存储信号由上一级向下一级传递 将某些寄存器的输出信号反馈回来进行运算 如图所示 运算结果又馈回输入端 即可获得一寄存器输出的序列 适当设置其反馈连接 该序列周期可达到最大长度T 2n 1 该序列就是M序列 ai 将寄存器个数n称之为M序列的 度 而反馈连接可用一本原多项式f x 表示 M序列的基本概念 M序列的本原多项式表示为 1 这里系数Cj表示反馈连接的通或断 C0 1 Cn 1xj仅指明其系数 1或0 代表Cj的值 即表示反馈连接的位置 本身的取值并无实际意义并不是所有的反馈连接都可以形成M序列 举例 以度n 4为例 假设从左到右的四个寄存器初始状态分别为 1001 若 c0c1c2c3c4 10101 则产生的序列 ai 的一个周期为 11100111001 可见周期T 11不等于2n 1 则没有达到最大长度 因此该序列不是M序列若 c0c1c2c3c4 11001 则产生的序列 ai 的一个周期为 000111101011001 可见周期T 2n 1 15 达到了最大长度 因此该序列是M序列能够产生M序列的反馈连接是有限的 M序列的基本特性 M序列具有非常优良的数字理论特性 这是它能够得到广泛应用的根本原因 M序列的主要理论特性 1 序列中 1 和 0 个数具有均衡性 即2n 1个序列元素中 1 的个数和 0 的个数几乎各自占有一半的个数 其中 1 的个数恰好比 0 的个数多 1 2 移位相加性 将一个M序列和一延迟后的序列模2相加的结果仍为M序列 生成后的M序列可以看作原M序列的某一 延时后的结果 M序列的基本特性 3 抽值不变性 4 伪噪声特性当度n增大 周期T增大 序列的 1 和 0 出现可看作是随机的 因此M序列也称之伪随机序列 具有类似白噪声的特性 5 优良的相关特性 优良的自相关特性 自相关特性为了产生实际中的波形和利于数学处理 常常采用的是M序列的双极型形式 即mi 1 1 这里 mi 1 2ai 单极性M序列和双极性M序列的自相关函数曲线比较规律 1 M序列的单极性和双极性的自相关曲线都在t 0处都有一个尖峰 其它处的值都很小 2 双极性M序列的自相关曲线具有更为良好的特性 3 由于自相关函数具有类冲激性质 则其功率谱具有很宽的值 类似于白噪声 优良的自相关特性 M序列自相关函数的理论数学表达从该表达式可以看出 若取多个周期 则k 0时 自相关函数值为1 其它时刻值为1 T 还不是严格到0 不加以修正 会在系统输出产生一个直流量 以N 3为例 取多个周期M序列作自相关 并求取其频谱 如下 修正办法将幅度对称的M序列 mk mk 1 1 转化成为幅度不对称的M序列 转化的方法就是把M序列的所有的 1 值转化成为 q值进行转化后变为 q 1 的序列 图中 1 7的部分变为0返回 鲜为人知的互相关特性 对一M序列进行某一移相 通过延时某个 时刻来实现 而得到另一个M序列 对这两个M序列进行互相关运算 其互相关函数的值非常小 随着度的增大 互相关函数的值变得越来越小而趋于0 例子 度为4的M序列如下 000100110101111 延时3个时间单元的M序列如下 100110101111000 对这两个序列化为双极型形式 取互相关运算得到的值如下 0 0667 0 1333 0 20000 8000 0 06670 00000 06670 00000 06670 1333 0 0667 0 0000 0 06670 00000 0667 所以 从上述数据中可以看出 通过延时得到的两个M序列的互相关函数具有非常小的值 随着度的增大 互相关的值变得越小 也就是说序列间几乎是正交的 特征M序列 CharacteristicM sequence 一特征M序列例 令度n 3 周期T 7 其本原多项式f x 1 x x3 寄存器初始状态设为a 1 a 3 1 a 2 0 那么就可以产生一个M序列 ai 0011101 0 i 6 采用相同的本原多项式 若将寄存器的初始状态设为a 1 a 2 0 a 3 1 就可以得到另一M序列 di 1110100 观察得到的M序列 di 的下标 发现显然它具有性质 这里下标索引2i是要进行模除T的 我们把满足这种特征的M序列称为特征M序列 CharacteristicM sequence 对于每一个本原多项式f x 只要恰当地设置移位寄存器的初始状态 就可以产生这种 特征 M序列 互补M序列 reciprocalM sequence 若 ai 为由f x 产生的一长为T 2n 1的M序列 对 ai 进行次序反转运算 可容易得到具有相同度的另一个序列 bi 满足 bi a i bi 可由一本原多项式r x 产生 它是由原 ai 的本原多项式f x 进行简单的反转后得到的 即 于是就将r x 专称为f x 的互补多项式 相应地 由r x 产生的序列 bi 则称为序列 ai 的互补M序列 一对互补多项式总是各自与一对互补序列紧密相关 例 特征M序列 ai 1110100 其本原多项式为f x 1 x x3 经过次序反转后 就得到与其对应的互补M序列 bi 1001011 则产生 bi 的本原多项式为 经实验研究 互补M序列对的互相关函数相比于一般的序列对具有更小的值 而且随着度的增大 互相关函数的值随之变小而具有趋于0的特性 度为n的互补M序列对的互相关函数值的上限为 显然 l n 是随着n的增大而减小的 互补M序列对各自的自相关函数仍具有类冲激的性质 特征互补M序列对的这些优良的属性非常适合于对双端口网络的系统特性的测量 互补M序列对相关特性的实验曲线 向博士测试的互相关曲线 第三篇M序列测量系统的理论基础 一M序列测量系统特性的原理据线性系统的相关理论 系统的输入 mi 和输出 yi 间的互相关函数 my k 与输入信号的自相关函数 k 的关系如下 而前面关于自相关函数特性的论述有 代入上式得 M序列测量系统特性的原理 容易证实有 代入 10 得 这里下标j k是根据模除T而算出来的 式 12 可以用一个矩阵形式来写出来 该式中 H为冲激响应向量 M为双极性的M序列循环右移矩阵 T为M序列的周期 Y为输出响应向量 Y为常数向量 代表直流量 M序列测量系统特性的原理 这是由于输入双极性M序列的直流分量产生的 若将幅度对称的M序列 mk mk 1 1 转化成为幅度不对称的M序列 转化的方法就是把M序列的所有的 1 值转化成为 q值于是式 13 就变为 这就是M序列变换的表达式 该表达式表明 用已知的M序列去激励一未知系统 只要将M序列矩阵与系统输出端的响应向量作乘积 并乘以因子1 T 1 就可近似得到反映系统特性的冲激响应 度n越大 T越长 该表达式就越接近于真实值 关于M序列矩阵 M序列矩阵是作为激励信号M序列的循环右移形式 它的矩阵大小是T T 表示如下 Mij代表第i行和第j列的元素 M矩阵第一行是所选的特征M序列 剩下的行由此M序列逐次循环右移而来 以度为3 周期为7的M序列为例 二 借用哈达码变换来完成FMT 很明显 随着度的增大 式 15 的计算量是呈指数递增的 为减小计算量 我们必须寻求M序列变换的快速算法 众所周知 哈达码变换只有加减运算 且存在快速算法 但哈达码变换矩阵HA是2n 2n的矩阵 矩阵每行一半元素为1 一半元素为 1 结合M矩阵 易发现M矩阵大小为 2n 1 2n 1 根据M序列的元素 1 和 1 个数具有均衡性 M矩阵对应的二进制形式A每行 1 的个数为2n 1 1 的个数为2n 1 1 因此可把输入的特征M序列补一个1后 再循环右移并进行排序就可形成矩阵HA进行哈达码变换 变换后只需进行一次重排 从重排的序列2n个元素中取出2n 1个元素 最后乘以因子1 T 1 后就得到了系统的冲激响应矩阵 这就是快速M序列变换的信号处理流程 FMT FastM sequenceTransform 数据流图 三 FMT的分解 从FMT的数据流图 我们可以看出 M序列激励系统产生的响应y 经历了 1 响应数据的排列 2 哈达码变换H 3 变化后的数据重排 4 乘以因子1 T 1 的过程 最后得到的是自然排序的系统冲激响应 该过程可用一下分解公式得到 从该式中可以看出 哈达码矩阵是已知的矩阵 Y是系统输出端测出的数据 因此 只要确定排列矩阵P1和重排矩阵P2 就完成了FMT 四 两个排列矩阵的构造分解过程 1 以度n 3为例来说明P1 P2的构造过程 n 3对应的哈达码矩阵HA秩为8 可把HA转化为二进制形式的Reed Muller矩阵Rt 即 可将矩阵Rt分解为 其中因子Q可表示为十进制的下标索引形式 两个排列矩阵的构造分解过程 2 同理 把式 19 转化为二进制矩阵A后 有 A P2QQTP1 E2E1 23 E2 P2Q E1 P1Q T 24 我们将式 17 中的矩阵A进行矩阵分解如下 观察E1 E2 对它们每列或每行的二进制转化成十进制数后 就可形成下标索引形式 E1 7 1 2 5 4 6 3 indexE2 7 3 6 4 5 2 1 index 26 所以 把第一个下标 7 搁置后 E1和E2的下标索引具有互为次序反向的关系 两个排列矩阵的构造分解过程 3 把算出的矩阵Q和E2 E1代入式 24 得 观察P1 P2 它们都是稀疏矩阵 这有利于减少计算量 另外 还可以发现 搁置第一行 或列 如图中的虚线所示 后 每列 或行 的P1 或P2 中元素 1 出现的位置恰好与因子矩阵E1 或E2 的下标索引形式标识的位置相同 因而只用E1的一个下标索引 就可完成E1 E2 P1 P2四个矩阵的构造 这就是排列矩阵P1 P2的构造原理 该原理对任意度的特征M序列均适用 五 互补M序列的排列矩阵的构造 如果以与 mk 互补的特征M序列去激励系统 根据互补特征M序列对的互为对偶的关系 该序列所激励的系统输出的FMT的排列矩阵Pr1和重排矩阵Pr2的下标索引分别与P1 P2互为对偶 即 式 28 表明 如果用原M序列相同的互补M序列去激励相同的系统 对所产生的响应进行快速M序列变换FMT 该FMT所需要的排列矩阵Pr1和重排矩阵Pr2不必再重新求 可根据索引下标形式互推 对原M序列的排列矩阵P1取对偶索引互补M序列的排列矩阵Pr1对互补M序列的排列矩阵Pr1取反序互补M序列的重排矩阵Pr2所以 P1和Pr2 P2和Pr1 具有相同的索引形式 可如下图表示 互补M序列的排列矩阵的构造 2 因而从图中可以看出 若用互补M序列对取激励一双端口系统 对两个输出响应进行FMT 则采用一个索引形式可以构造出四个排列矩阵 计算复杂度会大幅度降低 六 对多端口输入输出复杂系统特性的测量 1 利用互补M序列对互相关函数性质 和相互排列矩阵求取的互推性 可以方便地求取出复杂的多输入输出系统的特性 它的优势在于抗噪声能力非常强 而且计算复杂度较低 方法 用多个M序列对去激励复杂系统 对多个输出分别进行FMT即可 对多端口输入输出复杂系统特性的测量 2 七 对双耳缩比模型的测量 我们研究特殊的多输入输出系统模型 即双输入输出系统 该模型是现实中很多系统的概括 如在声学测量中 为测出封闭室内的声波传输特性 采用两个激励源 如音箱 两个接收端 耳朵 因此可形象地称该模型为双耳缩比模型 在建筑声学领域 这种模型有多种表现形式 模型实例 双耳缩比模型的测量数据流程 第四篇本人完成的一些仿真实验 一对单输入单输出系统的测量1 系统的构造 任意构造一无限冲激响应IIR系统 该系统的传函为 2 理想方法 用单位冲激响应 理想化周围环境中不存在噪声干扰 去激励该系统 得到的冲激响应为真实的冲激响应 单输入输出系统的测量 2 3 传统方法 用功率大的冲激抵御噪声 从实验曲线可以看出 加入较微量的噪声 冲激响应法测出的系统特性曲线已经与真实值大相径庭 为了较真实测量系统特性 必须增大冲激的功率 单输入输出系统的测量 3 4 M序列不加噪法 和M序列加噪法实验中 用的是度数为6的 较低 的特征M序列 所加的噪声功率是传统方法的两倍 从实验曲线可以看出 1 M序列法在干扰噪声强一倍的情况下 仍能很接近地测出系统响应 2 M序列在加噪和不加噪情况下测量结果几乎一样 因而具有非常优秀的抗噪声性能 单输入输出系统的测量 4 5 误差存在原因 选用的M序列不是绝对大 相关特性和理想特性仍有差距 II 双输入输出系统的测量 1 一 系统的构造 1 构造全相位滤波器的系统 结构如下 为了证实FMT的正确性 实验分别采用了度为8到12的互补特征M序列测试一双端口64阶全相位FIR滤波器 AllPhaseFourierFilter 简称APFF 令全相位滤波器1 图示为一APFF1 具有低通性质 而APFF2具有高通性质 对两个滤波器的输出进行取和和取差就形成了系统的输出 为什么要取和取差 双输入输出系统的测量 2 传统的用单位取样脉冲并叠加高斯白噪声激励双端口系统 并在输出端接收得到的冲激响应波形如下从传统方法可以看出 用单位取样脉冲加噪后 完全看不到一丝真实响应波形 要加以改善 只有极大幅度地增大取样脉冲的功率才行 双输入输出系统的测量 3 用M序列 度为9 加噪和不加噪法得到的输出端口的波形 双输入输出系统的测量 4 M序列激励系统输出再作变换后的冲激响应 左不加噪 右为加噪 M序列的度取为9 双输入输出系统的测量 5 换为度为11的M序列的测试结果比较度为9和度为11可以发现 1 度为11的测试结果更加接近理想真实值 所以度越大 效果越好 2 两种情况加噪后 测试结果并不受影响 所以M序列测试法具有很好的抗噪声性能 数据分析 用度为8到11的M序列分别测试该系统 并对所有的测量数据结果取方差 方差 1 表明测试结果的稳定情况 2 表明与真实理想情况的偏离程度 上面分析表明 度越大 数据越稳定 与真实值更加接近 在工程实践中 要求用到度大于15的M序列 这需要借助硬件来实现算法 表1各种测量法的测出的冲激响应值的方差数据