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2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理 (IV)本试卷由两部分组成.第一部分:第一学期前的基础知识和能力考查,共103 分; 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题,第11题、第12题共35分; 填空题包含第13题、第16题,共10分; 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题,共58分.第二部分:第一学期后的基础知识和能力考查,共47分; 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题,共25分; 填空题包含第45题、第15题,共10分; 解答题包含第19题,共12分.全卷共计150分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共12小题,每小题 5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,则( ) A B C D2. 若复数满足,则 ( ) A. B. C. D.3在等比数列中,表示前项和,若,则公比等于( ) A. B. C. 1 D. 34甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都空座,则坐法种数为( ) A10 B16 C20 D245一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A. B. C. D. 76.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( ) A. Z B. Z C. Z D. Z 是否开始结束输出7执行如图所示的程序框图,输出的值是( ) A B C D8设大于0,则3个数:,的值( )A都大于4 B至少有一个不大于4 C都小于4 D至少有一个不小于49.我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B. C. D.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 11过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ,则双曲线的离心率e的值是()A. B. C. D.12如果对定义在上的函数,对任意,都有,则称函数为“函数”.给出下列函数:;.其中函数是“函数”的个数为( ) A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题 5分,共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上)13.已知平面向量与的夹角为,则 . 14若展开式中的系数为,则_ 15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_ 16.在“家电下乡”活动中,某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 元三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)如图,梯形ABCD中,.()若求AC的长;()若,求的面积.18(本题满分12分)设,数列的前项和为,已知,成等比数列.()求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.19. (本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩(单位:分) ,从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本,如图是样本的茎叶图规定:成绩不低于120分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据,求其中只有一个优秀成绩的概率;(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩,记获优秀成绩的人数为 ,求的分布列和数学期望E20(本题满分12分)如图, 是平行四边形,已知,,平面平面.()证明:()若,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.21、已知椭圆的两焦点为,离心率.(1)求此椭圆的方程;(2)设直线,若与此椭圆相交于,两点,且等于椭圆的短轴长,求的值; (3)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.22(本小题满分12分)已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数)()求的解析式及单调减区间; ()若函数无零点,求的取值范围深圳高级中学(集团)xx第二学期期中测试 高二数学(理) 命题人:王会丹 审题人:高书洪本试卷由两部分组成。第一部分:第一学期前的基础知识和能力考查,共103 分; 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题,第11题、第12题共35分; 填空题包含第13题、第16题,共10分; 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题,共58分。第二部分:第一学期后的基础知识和能力考查,共47分 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题,共25分; 填空题包含第45题、第15题,共10分; 解答题包含第19题,共12分。全卷共计150分。考试时间120分钟注意事项:1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一、选择题(本大题共12小题,每小题 5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,则( )BA B C D2. 若复数满足,则 ( )(A) (B) (C) (D)2C【解析】3在等比数列中,表示前项和,若,则公比等于( ) (A) (B) (C)1 (D)33D【解析】两式相减得,从而求得.4甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都空座,则坐法种数为( )A10 B16 C20 D24【答案】C【解析】(1)甲在前,乙在后:若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,共种方法.(2)同理,乙在前,甲在后,也有种方法.故一共有种方法.5一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )(A) (B) (C) (D)75A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体,其体积为6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( )D(A) Z (B) Z (C) Z (D) Z 是否开始结束输出7执行如图所示的程序框图,输出的值是( )A B C D【答案】A【解析】由程序框图可知: 周期为3,由,得输出的结果为8设大于0,则3个数:,的值( )A都大于4 B至少有一个不大于4 C都小于4 D至少有一个不小于4【答案】D【解析】依题意,令,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项.故选D.9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B. C. D.【解析】(方法一)从部名著中选择部名著的方法数为(种),2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为(种),只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为(种),于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率. 故选A.(方法二)从部名著中选择部名著的方法数为(种),部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为(种),由对立事件的概率计算公式得.故选A.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 10B 【解析】共有种方案11过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ,则双曲线的离心率e的值是()A. B. C. D.【解析】据题意知椭圆通径长为a,故有aa24b2,故相应双曲线的离心率e.【答案】B12如果对定义在上的函数,对任意,都有则称函数为“函数”.给出下列函数:;.其中函数是“函数”的个数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:由已知得,即,故在定义域内单调递增.,其值不恒为正,故不满足;,故满足;,满足;由分段函数的图象,不满足.考点:1、函数单调性的定义;2、利用导数判断函数的单调性;3、分段函数.二、填空题(本大题共4小题,每小题 5分,共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上)13.已知平面向量与的夹角为,则 .2 14若展开式中的系数为,则_15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_16.在“家电下乡”活动中,某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 元16. 设甲型货车需要辆,乙型货车需要辆,由题意得不等式组 作出可行域 ,可知,当直线过点时,三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)如图,梯形ABCD中,.()若求AC的长;()若,求的面积.解:()因为,所以为钝角,且,2分因为,所以.在中,由,解得. 5分()因为,所以,故,. 6分在中,整理得,解得, 8分所以. 10分18(本题满分12分)设,数列的前项和为,已知,成等比数列.()求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.解:()由得: 1分 所以数列是以为首项,为公差的等差数列 3分由成等比数列.即 解得 4分 所以,5分()由()可得, 6分所以,即. 8分. 10分可得 ,所以. 12分19. (本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩(单位:分) ,从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本,如图是样本的茎叶图规定:成绩不低于120分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据,求其中只有一个优秀成绩的概率;(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩,记获优秀成绩的人数为 ,求的分布列和数学期望E19解:(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据,其中只 有一个优秀成绩” 3分(2)的所有可能取值为0,1,2,3 4分, 8分的分布列为0123 10分的数学期望为 12分20(本题满分12分)如图, 是平行四边形,已知,,平面平面.()证明:()若,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.解析:()是平行四边形,且,故,即 ( 1分)取BC的中点F,连结EF, ( 2分)又平面平面,平面 ( 3分)平面, ( 4分)平面,平面, ( 5分)平面, ( 6分)(),由()得 ( 7分)以B为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图),则 ( 8分)设平面的法向量为,则,即 得平面的一个法向量为 ( 10分)由()知平面,所以可设平面的法向量为 ( 11分)设平面与平面所成二面角的平面角为,则 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.( 12分)21、已知椭圆的两焦点为,离心率.(1)求此椭圆的方程;(2)设直线,若与此椭圆相交于,两点,且等于椭圆的短轴长,求的值; (3)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.21.解:(1)设椭圆方程为,则,所求椭圆方程为. -4分(2)由,消去y,得,则得 (*)设,则,解得.,满足(*) -8分(3)设能构成等腰直角三角形ABC,其中B(0,1),由题意可知,直角边BA,BC不可能垂直或平行于x轴,故可设BA边所在直线的方程为(不妨设k0),则BC边所在直线的方程为,由,得A用代替上式中的k,得,由,得k0,解得:或,故存在三个内接等腰直角三角形.-1分22(本小题满分12分)已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数)()求的解析式及单调减区间; ()若函数无零点,求的取值范围22 解:() ,1分又由题意有:,故. 3分此时,由或,所以函数的单调减区间为和. 5分(说明:减区间写为的扣2分. ) () ,且定义域为,要函数无零点,即要在内无解,亦即要 在内无解. 6分构造函数. 当时,在内恒成立,所以函数在内单调递减,在内也单调递减. 又,所以在内无零点,在内也无零点,故满足条件; 8分当时, 若,则函数在内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增. 又,所以在内无零点;易知,而,故在内有一个零点,所以不满足条件;若,则函数在内单调递减,在内单调递增. 又,所以时,恒成立,故无零点,满足条件; 10分若,则函数在内单调递减,在内单调递增,在内也单调递增. 又,所以在及内均无零点. 又易知,而,又易证当 时,所以函数在内有一零点,故不满足条件. 11分综上可得:的取值范围为:或. 12分(说明:在()的解答中,若分离变量,再讨论函数的单调性获得给分)深圳高级中学(集团)xx第二学期期中测试 高二数学(理)答案 一、选择题123456789101112BCDCADADABBB1 B 2. C【解析】3D【解析】两式相减得,从而求得.4C【解析】(1)甲在前,乙在后:若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,若甲在第位,则有种方法,共种方法.(2)同理,乙在前,甲在后,也有种方法.故一共有种方法.5A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体,其体积为6.D7A【解析】由程序框图可知: 周期为3,由,得输出的结果为8D【解析】依题意,令,则三个数为4,4,4; 令,则三个数为5,5,5,排除A,B,C选项.故选D.9. A. 10.B 【解析】共有种方案11B【解析】据题意知椭圆通径长为a,故有aa24b2,故相应双曲线的离心率e.12B【解析】试题分析:由已知得,即,故在定义域内单调递增.,其值不恒为正,故不满足;,故满足;,满足;由分段函数的图象,不满足.二、填空题13. 2 14 15. 16. 220016. 设甲型货车需要辆,乙型货车需要辆,由题意得不等式组 作出可行域 ,可知,当直线过点时,三、解答题17解:()因为,所以为钝角,且,2分因为,所以.在中,由,解得. 5分()因为,所以,故,. 6分在中,整理得,解得, 8分所以. 10分18解:()由得: 1分 所以数列是以为首项,为公差的等差数列 3分由成等比数列.即 解得 4分 所以,5分()由()可得, 6分所以,即. 8分. 10分可得 ,所以. 12分19.解:(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据,其中只 有一个优秀成绩” 3分(2)的所有可能取值为0,1,2,3 4分, 8分的分布列为0123 10分的数学期望为 12分20解析:()是平行四边形,且,故,即 取BC的中点F,连结EF, 又平面平面,平面 平面, 平面,平面, 平面, -6分(),由()得 以B为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图),则 设平面的法向量为,则,即 得平面的一个法向量为 由()知平面,所以可设平面的法向量为 设平面与平面所成二面角的平面角为,则 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为. -12分21、.解:(1)设椭圆方程为,则,所求椭圆方程为. -4分(2)由,消去y,得,则得 (*)设,则,解得.,满足(*) -8分(3)设能构成等腰直角三角形ABC,其中B(0,1),由题意可知,直角边BA,BC不可能垂直或平行于x轴,故可设BA边所在直线的方程为(不妨设k0),则BC边所在直线的方程为,由,得A用代替上式中的k,得,由,得k0,解得:或,故存在三个内接等腰直角三角形.-1分22 解:() ,1分又由题意有:,故. 3分此时,由或,所以函数的单调减区间为和. 5分(说明:减区间写为的扣2分. ) () ,且定义域为,要函数无零点,即要在内无解,亦即要 在内无解. 6分构造函数. 当时,在内恒成立,所以函数在内单调递减,在内也单调递减. 又,所以在内无零点,在内也无零点,故满足条件; 8分当时, 若,则函数在内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增. 又,所以在内无零点;易知,而,故在内有一个零点,所以不满足条件;若,则函数在内单调递减,在内单调递增. 又,所以时,恒成立,故无零点,满足条件; 10分若,则函数在内单调递减,在内单调递增,在内也单调递增. 又,所以在及内均无零点. 又易知,而,又易证当 时,所以函数在内有一零点,故不满足条件. 11分综上可得:的取值范围为:或. 12分(说明:在()的解答中,若分离变量,再讨论函数的单调性获得给3分)
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