2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点.则实数的取值范围是.2. 在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，.则异面直线与所成的角为.3. 已知椭圆与抛物线有公共点.则的取值范是.4. 如图1，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，为上及内部的动点，设向量.则的取值范围是.5. 计算：.6. 设是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则.7. 已知数列满足.则.8. 将正方体的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在中，若，证明：.10.（20分）已知双曲线上有一点，点关于原点的对称点为，以长为半径作与双曲线交于三点.证明：为正三角形.11.（20分）已知，且.证明：.一、（40分）如图2，在中，为边的中点，的延长线与交于点，联结.证明：.二、（40分）求方程的全部正整数解.三、（50分）已知为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组，求的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？