2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (III).doc

2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (III)一、单选题（每小题5分，共60分）1.在 中，内角 和 所对的边分别为和 ，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得，则，即又，则，即，所以是的充要条件，故选C2.设椭圆的左、右焦点分别为，是上任意一点，则的周长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意的周长为: ,故选D.3.已知实数x,y满足2x+y4xy1x2y2，则z=x+2y的最小值是A. 2 B. 2 C. 4 D. 4【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件2x+y4x-y1x-2y2，写出可行域如图，化z=x+2y为y=x2+z2，由图可知，当直线y=x2+z2过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+20=2故答案为：A点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：y=2xz,直线的纵截距为z,所以纵截距z最小时，最大.4.已知数列an满足：a1=2，an0，an+12-an2=4(nN*)，那么使an0, b0)，为双曲线的半焦距，如果a,b,c成等比数列，则双曲线EA. 可能是“黄金双曲线” B. 可能不是“黄金双曲线”C. 一定是“黄金双曲线” D. 一定不是“黄金双曲线【答案】C【解析】分析：由a,b,c成等比数列可得b2=ac，而b2=c2a2，e=ca,e2e1=0解方程求得双曲线的离心率，即可判断双曲线是否为“黄金双曲线”.详解：双曲线的方程为x2a2y2b2=1a0,b0，设为双曲线的半焦距，a,b,c成等比数列，b2=ac，又b2=c2a2，c2a2=ac，c2aca2=0，e=ca,e2e1=0，又e1，e1+12412=5+12，所以双曲线一定是“黄金双曲线”，故选C.点睛：本题考查等比中项的性质，双曲线的简单性质与离心率、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“黄金双曲线”达到考查双曲线的简单性质与离心率的目的.6.已知x0,y0，若2yx+8xym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是A. m4或m2 B. m2或m4C. 2m4 D. 4m2【答案】D【解析】【分析】先利用基本不等式求得2yx8xy的最小值，然后根据2yx8xym22m恒成立，求得m2+2m8，进而求得m的范围【详解】由基本不等式可得2yx8xy216=8 ，若2yx8xym22m恒成立，则使8m2+2m恒成立，m2+2m8，求得-4m2故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题7.如图，60的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（ ）A. 217 B. 223 C. 235 D. 241【答案】B【解析】CAAB，BDABCAAB=0，BDAB=0CD=BD+AB+CACD2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+2CABD+2ABBD =62+42+82+268cos120=68CD=217故选B8.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值为 （ ）A. 1010 B. 15 C. 31010 D. 35【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，则B(1,1，0)，E(1,0，1)，C(0,1，0)，D1(0,0，2)，BE=(0,-1,1)，CB=(1,0，0)，CD1=(0,-1,2)，设平面BCD1的法向量n=(x,y，z)，则nCB=x=0nCD1=-y+2z=0，取z=1，得n=(0,2，1)，设直线BE与平面BCD1所形成角为，则sin=|BEn|BE|n|=125=1010cos=1-110=31010直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值为31010故选：C【点睛】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题9.设F为抛物线y2=16x的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则FA+FB+FC的值为 （ ）A. 36 B. 24 C. 16 D. 12【答案】B【解析】【分析】由题意，可得抛物线的焦点坐标F(4,0)，因为FA+FB+FC=0，求得xA+xB+xC=12，再由抛物线的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得抛物线的焦点坐标F(4,0)，因为FA+FB+FC=0，故xA+xB+xC3=4，即xA+xB+xC=12，再由抛物线的定义可得FA+FB+FC=xA+4+xB+4+xC+4=24，故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的重心的坐标公式，以及抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得xA+xB+xC=12，再利用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.10.函数y=fx的图象如图所示,则fx的解析式可以为（ ）fx=1xx2 Bfx=1xx3 Cfx=1xex Dfx=1xlnx【答案】C【解析】因为f(x)=1x22x，故当x0时，f(x)=1x22x的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因f(x)=1x23x20，故函数 f(x)=1x-x3是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因x0时，无零点，故答案不正确；而f(x)=1x2ex0，故函数在x0时，函数也单调递减函数，应选答案C。点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。11.设函数f(x)=ex(x1)，函数g(x)=mxm(m0)，若对任意的x12,2，总存在x22,2，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的取值范围是（ ）A. 3e2,13 B. 13,e2 C. 13,+) D. e2,+)【答案】D【解析】分析：求出f(x)(x2,2的值域A，及g(x)=mxm,x2,2的值域B，由AB可得结论详解：f(x)=xex，x2,0)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)的极小值也是最小值为f(0)=1，当x2,0)时，f(x)0，当x2,2时，g(x)的值域为3m,m，由题意3m1me2，解得me2故选D点睛：本题考查转化与化归思想解题关键是对“存在”和“任意”的理解与转化在集合D上：设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，若对任意x1 D，总存在x2D，使得f(x1)=g(x2)，则有AB12.设F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，直线过F1交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足F1C=32AF1且CF1F2=30，则椭圆的离心率为A. 33 B. 36 C. 13 D. 16【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出AF1=43c9，F1F2=2c，AF2=2a43c9。由余弦定理即可求得a与c的关系，进而求得离心率。【详解】因为F1是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，直线过F1交y轴于C点所以F1c,0 ，即OF1=c 因为CF1F2=30，所以CF1=23c3又因为F1C=32AF1所以AF1=43c9在三角形AF1F2中，AF1=43c9，F1F2=2c，AF2=2a43c9，根据余弦定理可得cosAF1F2=AF12+F1F22AF222AF1F1F2 ，代入得32=43c92+2c22a43c92243c92c，化简得a=3c 所以离心率为e=ca=33 所以选A【点睛】本题考查了椭圆的基本性质及其综合应用，余弦定理求椭圆斜率的用法，计算量较大，易出错，属于难题。二、填空题（每小题5分，共20分）13.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=_【答案】23【解析】分析：利用正弦定理得a=53b，结合条件得c=73b，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab，代入求解即可.详解：由正弦定理，3sinA=5sinB可得：3a=5b，即a=53b.又b+c=2a，可得c=2a-b=103b-b=73b.由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=(53b)2+b2-(73b)2253b2=-12.所以C=23.故答案为：23.点睛：本题主要考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.14.设公比不为1的等比数列an满足a1a2a3=18，且a2,a4,a3成等差数列，则数列an的前4项和为_【答案】58【解析】【分析】：由等比中项求解a2，由等差中项求解q，由等比数列的求和公式求解S4。【详解】：公比不为1的等比数列an满足a1a2a3=-18，所以a23=-18，解得a2=-12，a3=-12q，a4=-12q2，a2,a4,a3成等差数列，故2a4=a2+a3，解得q=-12，a1=1，由Sn=a1(1-qn)1-q可得：S4=58。【点睛】：等比中项的性质：an2=an-1an+1，等差中项的性质：2an=an-1+an+1，等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-qn)1-q。15.如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD底面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为_.【答案】60【解析】【分析】以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，令PD=AD=1，求得PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0)，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD,PD=AD，令PD=AD=1，所以A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)，所以PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0),所以cos=|PABD|PABD=122=12，所以=600，即异面直线PA与BD所成的角为600【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数f(x)，x(0,+)的导函数为f(x)，且满足xf(x)2f(x)=x3ex,f(1)=e1,则f(x)在(2,f(2)处的切线为_【答案】y=(8e24)x12e2+4【解析】xfx2fx=x3ex，xfx2fxx3=ex令g(x)=f(x)x2，则g(x)=xfx2fxx3=ex，g(x)=f(x)x2=ex+c（为常数），f(x)=x2(ex+c)，又f(1)=e+c=e1，c=1f(x)=x2(ex1)，f(x)=2x(ex1)+x2ex=(x2+2x)ex2x，f(2)=8e24又f(2)=4(e21)，所求切线方程为y4(e21)=(8e24)(x2)，即y=(8e24)x12e2+4答案：y=(8e24)x12e2+4点睛：（1）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式，对于条件中含有导函数的等式或不等式的问题，一般要根据题意构造出函数，然后再结合题意进行解题（2）本题中已知导数g(x)=ex构造函数g(x)时，不要忘了把g(x)设为g(x)=ex+c的形式，否则构造出的函数不会具有一般性三、解答题17.ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m=(cosB,cosC)，n=(2a+c,b)，且mn.（1）求角B的大小；（2）若b=7，a+c=8，求ABC的面积.【答案】（1）23；（2）1534.【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若mn，则有cosB（2a+c）+cosCb=0，结合正弦定理可得cosB（2sinA+sinC）+cosCsinB=0，将其整理变形可得cosB=-12，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案详解：（1）mn，cosB(2a+c)+cosCb=0，cosB(2sinA+sinC)+cosCsinB=0，2cosBsinA=-(sinCcosB+cosCsinB) =-sin(B+C)=-sinA，cosB=-12，B=23.（2）根据余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB，49=a2+c2+ac，又因为a+c=8，(a+c)2=64，a2+c2+2ac=64，ac=15，则S=12acsinB=1534.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2（1）求证：AO平面BCD；（2）求二面角OACD的余弦值【答案】（1）证明略（2）217【解析】【分析】（1）由题意，求得AOBD,COBD,AO=1,CO=3，利用勾股定理证得AOCO，利用线面垂直的判定定理，即可得到AO平面BCD.（2）由（1）知OB,OC,OA两两垂直，以O点为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACD和平面ACO的法向量为m,n，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为四面体ABCD中，O是BD的中点，所以CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2,所以AOBD,COBD,AO=1,CO=3，所以AO2+CO2=AC2，所以AOCO，因为BDCO=O，所以AO平面BCD.（2）由（1）知OB,OC,OA两两垂直，以O点为原点建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(0,0,1),C(0,3,0),D(-1,0,0),AC=(0,3,-1),AD=(-1,0,-1)，设平面ACD的法向量为m=(x,y,z)，则mAC=0mAD=03y-z=0-x-z=0，取y=1，则m=(-3,1,3)，又由平面ACO的一个法向量为n=(1,0,0)，设二面角O-AC-D的平面角为，易知为锐角，则cos=|mn|mn=37=217，所以二面角O-AC-D的余弦值为217. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知动点P(x,y) (其中y0)到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线l:xy+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求OAB的面积.【答案】(1)y=x24；（2）SOAB=22【解析】试题分析：(1)由题意易得：|y|+1=|PF| 坐标化后化简即可得到动点P的轨迹方程；(2)联立方程，得到：x2-4x-4=0，借助韦达定理表示OAB的面积.试题解析：（1）由已知，|y|+1=|PF|即：y2+2y+1=x2+(y-1)2，又y0，y=x24.（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令x10，l：x-y+1=0过点F(0,1)，SAOB=SAOF+SBOF=12(x2-x1) 联立y=x24， x-y+1=0则x2-4x-4=0满足0，且x1-x2=x1+x22-4x1x2=42 SOAB=2220.已知公比为整数的正项等比数列an满足：a3a1=24，a1a9=310（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=(n+1)an，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）an=3n；（2）14(2n+1)3n+13【解析】【试题分析】（1）利用基本元的思想，将两个已知条件转化为a1,q的形式，解方程组可求得a1,q和通项公式.（2）由于bn是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减求和法求其前n项和Sn.【试题解析】（1）设等比数列an的公比为q，由a1a9=310，有a12q8=310可得a1q4=35，由a3-a1=24可得a1(q2-1)=24，两式相除可得：8q4-81q2+81=0，整理为：(8q2-9)(q2-9)=0，由q0，且q为整数，可解得q=3，数列an的通项公式为an=3n（2）由bn=(n+1)3n，Sn=23+332+433+ +n3n-1+(n+1)3n，有3Sn=232+333+434+ +n3n+(n+1)3n+1，两式作差有：-2Sn=6+32+33+ +3n-(n+1)3n+1，得2Sn=(n+1)3n+1-3-3(1-3n)1-3 =(2n+1)3n+1-32，故Sn=14(2n+1)3n+1-321.已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的离心率为22，且经过点A2,0.1求椭圆的标准方程；2过点A的动直线交椭圆于另一点B，设D-2,0，过椭圆中心O作直线BD的垂线交于点C，求证：OBOC为定值.【答案】1 x24+y22=1 24，证明见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，再结合条件求出C的坐标，计算OBOC，得出定值4.【详解】1因为椭圆的离心率e=ca=22，且a=2，所以c=2. 又b2=a2-c2=2.故椭圆的标准方程为x24+y22=1.2设直线的方程为x=ty+2（一定存在，且t0）.代入x2+2y2=4，并整理得t2+2y2+4ty=0.解得yB=-4tt2+2，于是xB=tyB+2=4-2t2t2+2.又D-2,0，所以BD的斜率为-4t2+24-2t2t2+2+2=-t2.因为OCBD，所以直线的方程为y=2xt.与方程x=ty+2联立，解得C-2,-4t.故OBOC=4t2-8t2+2+16t2+2=4t2+8t2+2=4为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，正确运用韦达定理是关键22.已知函数fx=12x2a+1x+alnx.（1）当a1时，求fx的单调区间；（2）当a0，fx0求得x的范围，从而可得结果；（2）讨论a0，且f2=a-2+ln20，只需f1=-a-120，解得-12a0；当0a1时，fx在0,a，1,+上单调递增，在a,1上单调递减，可证明极大值fa0.当a1时，由fx0，得0xa；由fx0，得1xa.故fx在0,1，a,+上单调递增，在1,a上单调递减.（2）当a0时，fx在1,+上单调递增，在0,1上单调递减，则fxmin=f1=-a-12，因为，且，所以，即.当时，在，上单调递增，在上单调递减，在时取得极大值，且 ，因为，所以，则，所以在只有一个零点.综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，属于难题.利用导数求函数的单调区间的一般步骤：1、求出；2、在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；3、在定义域内，利用求得的范围，可得函数的减区间.