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第一章 常用逻辑用语章末复习学习目标1.掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定1充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件即若pq，qr，则pr.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定2量词(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“x0”表示“存在x0”3含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题(1)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()类型一充要条件例1(1)已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)当b0，且x0时，f(x)取得最小值，则f(x)的值域为，则当f(x)时，f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等，故是充分条件；当b0时，f(x)x2，f(f(x)x4的最小值都是0，故不是必要条件故选A.(2)当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点反思与感悟分清条件与结论，准确判断pq，还是qp.跟踪训练1已知p：2，q：x22x1m20(m0)，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由x22x1m20(m0)，得1mx1m.由2，得2x10.由q是p的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，且不等式组中的等号不能同时成立，得m9.类型二含有一个量词的命题例2 下列命题中的假命题是()AxR,2x10 BxN*，(x1)20Cx0R，lg x01 Dx0R，tan x02答案B解析当xN*时，x1N，可得(x1)20，当且仅当x1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.反思与感悟判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(x0)成立跟踪训练2 下列命题中的真命题是()Ax0R，使得sin x0cos x0BxR，1sin x1Cx0(，0)，2x0cos x答案B解析因为sin xcos xsin，故A错误；由正弦函数的值域可知B正确；当x0时，y2x的图象在y3x的图象上方，故C错误；因为当x时，sin x”的否定是“”(2)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()AxR,1f(x)2Bx0R,1f(x0)2Cx0R，f(x0)1或f(x0)2DxR，f(x)1或f(x)2答案D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”反思与感悟对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定跟踪训练3已知命题p：“x0R，x010”，则命题p的否定为()Ax0R，x010Bx0R，x010CxR，exx10DxR，exx10答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得命题p的否定为“xR，exx10”，故选C.1设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案C解析xyx|y|(如x1，y2)，但当x|y|时，能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件2“0m1”是“函数f(x)cos xm1有零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析方法一若0m1，则01m1，cos x1m有解要使函数f(x)cos xm1有零点，只需|m1|1，解得0m2，故选A.方法二函数f(x)cos xm1有零点，则|m1|1，解得0m2，m|0m1m|0m2“0m1”是“函数f(x)cos xm1”有零点的充分不必要条件3已知命题“x0R，使2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1)答案B解析原命题的否定为xR,2x2(a1)x0，由题意知，其为真命题，即(a1)2420，则2a12，即1a3.4对任意x1,2，x2a0恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，0解析由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.5已知命题“xR，x25xa0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是_答案解析由“xR，x25xa0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x25xa0对任意实数x恒成立设f(x)x25xa，则其图象恒在x轴的上方，故254a，即实数a的取值范围为.(1)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(x0)成立(2)对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；对原命题的结论进行否定一、选择题1“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“直线l垂直于平面”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C2下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A有一个，使tan(90)B存在实数x0，使sin x0C对一切，sin(180)sin Dsin 15sin 60cos 45cos 60sin 45答案A3命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()AxR，|x|0 Bx0R，|x0|0CxR，|x|0 Dx0R，|x0|0答案C4若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若x4，则a(4,3)，|a|5，若|a|5，则5，x4，故“x4”是“|a|5”的充分不必要条件5王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件故选B.6命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCx0R，xx0 Dx0R，xx0答案D解析全称命题的否定是特称命题，所以“xR，x2x”的否定为“x0R，xx0”二、填空题7若命题p：常数列是等差数列，则其否定为：_.答案存在一个常数列，不是等差数列解析全称命题的否定是特称命题8设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当x1，y1时，xy2一定成立，即pq，当xy2时，可令x1，y4，则x1且y1不成立，即qD/p，故p是q的充分不必要条件9已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_答案(0,3)解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0a3.10定义f(x)x(x表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如1.22，44.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_f(2x)2f(x)；若f(x)f(y)，则xy0，设p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围解函数ycx在R上单调递减等价于0c1的解集为R等价于函数yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c，2c1，得c.如果p真q假，则解得0c；如果q真p假，则解得c1.c的取值范围为1，)四、探究与拓展14已知直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，易知k0，且圆心O到直线l的距离d1，所以|AB|222.若k1，则|AB|，d，所以OAB的面积为.反过来，若OAB的面积为，则S2，解得k1.故“k1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件15已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对任意xR恒成立？说明理由(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，则只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4，所求实数m的取值范围是(4，)
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