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第06节 正弦定理和余弦定理【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用2014浙江文18；理10，18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14；2018浙江13.1.正弦定理或余弦定理独立命题；2.正弦定理与余弦定理综合命题；3.与三角函数的变换结合命题；4.考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.5.备考重点： (1) 掌握正弦定理、余弦定理；(2) 掌握几种常见题型的解法.【知识清单】1.正弦定理正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：abcsin Asin Bsin C；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B2. 余弦定理余弦定理： ， ， .变形公式cos A，cos B，os C3. 正弦定理与余弦定理的综合运用 应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理【重点难点突破】考点1 正弦定理【1-1】【2018届河南省新乡市第一中学】在中，内角的对边分别为， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,故选A.【1-2】【2018届浙江省嘉兴市高三上期末】在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是_ 【答案】 【1-3】在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，则 .【答案】【解析】依次成等差数列，由正弦定理，或（舍去），.【领悟技法】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解【触类旁通】【变式1】【2018届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在中，角的对边分别为.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，由正弦定理，所以，故选A.【变式2】【2017浙江台州上学期】已知在中，内角的对边分别为且，则的面积为_【答案】【解析】由题设条件得，则由可得， 与联立可得，故，由正弦定理，则，所以的面积，应填答案.考点2 余弦定理【2-1】【2018届浙江省绍兴市3月模拟】在中，内角为钝角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得，由余弦定理得 故选A.【2-2】【2018年浙江卷】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=，b=2，A=60，则sin B=_，c=_【答案】 (1). (2). 3【解析】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.【2-3】在中，内角，的对边分别为，若，则_，的面积_【答案】【解析】由余弦定理可得；由三角形的面积公式可得，应填答案 和 .【领悟技法】 已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解. 已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.【触类旁通】【变式1】【2018届广东茂名五大联盟9月】的内角的对边分别是，已知，则等于( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】由余弦定理得，即，所以，应选答案B.【变式2】【2018届安徽合肥调研】在中，角对应的边分别为， ，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用【3-1】【2018届安徽省安庆市第一中学热身考】已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围详解：，由正弦定理得，是锐角三角形，解得，即的值范围是【3-2】【2018届广东省阳春市第一中学月考】在中，内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角得，即得再根据三角形内角范围得（2）由正弦定理将角化为边得，再根据余弦定理得，解方程组可得 （2）由及正弦定理，得，由余弦定理得， 即，由，解得【3-3】【2018年天津卷理】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此，所以，【领悟技法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论注意 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响提醒：1在ABC中有如下结论sin Asin Bab.2当b2c2a20时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2c2a20时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，角A为钝角，三角形为钝角三角形【触类旁通】【变式1】在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_.【答案】【解析】由正弦定理得：，.【变式2】【2018届河南省名校联盟第一次段考】锐角的内角，的对边分别为，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】试题分析：（1）根据已知条件，由正弦定理，求出角；（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出周长的最大值.试题解析：（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得. 【易错试题常警惕】易错典例：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高易错分析：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根正确解析：在ABC中，cos(BC)cos A，又12cos(BC)0，12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，得sin B.B或.ab，B.温馨提醒：应用正弦定理解三角形，最易出现的错误，就是角的增解问题.解题过程中应特别注意，一般要注意利用“大边对大角”结合已知角确定取舍.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休.数与形反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟（二）】已知中，为内一点，且.（）当时，求的长；（）若，令，求的值.【答案】()；(). 试题解析：（）如图，在中，.所以，由余弦定理得：， ， （），由内角和定理得.在直角中，在中，由正弦定理得：即，即：，整理可得：，解得.
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