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第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与数列例1(2018浙江名校协作体考试)设数列xn的各项都为正数且x11.ABC内的点Pn(nN*)均满足PnAB与PnAC的面积比为21，若xn1(2xn1)0，则x4的值为()A15B17C29D31答案A解析因为xn1(2xn1)0，所以(2xn1)xn1，如图，设(2xn1)，以PnA和PnD为邻边作平行四边形PnDEA，所以xn1，所以，所以，又，所以，所以，所以xn12xn1，又x11，所以x23，x37，x415，故选A.思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可跟踪训练1(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a2018，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2018等于()A1009B1008C2017D2018答案A解析因为a1a2018，且A，B，C三点共线，a1a20181，又数列an是等差数列，S20181009.(2)(2018浙江新高考预测)角A，B，C为ABC的三个内角，向量m满足|m|，且m，当角A最大时，动点P使得|，|，|成等差数列，则的最大值是_答案解析设BC2a，BC的中点为D.由题意得|m|2221cos(BC)1cos(BC)cosBcosCsinBsinC，则cosBcosCsinBsinC，化简得tanBtanC，则tanAtan(BC)(tanBtanC)2，当且仅当tanBtanC时，等号成立，所以当角A最大时，A，BC，则易得AD.因为|，|，|成等差数列，所以2|，则点P在以B，C为焦点，以2|4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，|取得最大值，此时|a，则|，所以.题型二和向量有关的最值问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题例2(1)(2018浙江镇海中学测试)已知ABC内接于圆O，且A60，若xy(x，yR)，则x2y的最大值是()A.B1C.D2答案D解析设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由xy，得x2y，xy2，所以解得所以x2y2222(当且仅当bc时取等号)，故选D.(2)(2018温州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足1，若xy，则xy的最小值为_答案解析连接MN交AC于点G.由勾股定理，知MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCM，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示)，xy(xy).由向量共线定理知，(xy)，所以xy，又因为|max514，所以xy的最小值为.命题点2与数量积有关的最值问题例3(1)(2017浙江)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1，I2，I3，则()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3答案C解析I1I2()，又与所成角为钝角，I1I20，即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|)，又AOB为钝角，OAOC，OBOD，I1I30，即I1I3.I3I1I2，故选C.(2)(2018绍兴市柯桥区质检)已知向量a，b，c满足|b|c|2|a|1，则(ca)(cb)的最大值是_，最小值是_答案3解析由题意得|a|，|b|c|1，则(ca)(cb)|c|2cbcaab|c|2(abc)2(|a|2|b|2|c|2)(abc)2，则当向量a，b，c同向共线时，(ca)(cb)取得最大值23，当abc0时，(ca)(cb)取得最小值.命题点3与模有关的最值问题例4 (1)(2018浙江金华一中考试)已知，是空间两两垂直的单位向量，xyz，且x2y4z1，则|的最小值为_答案解析方法一由题意可设(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)由x2y4z1，得x12y4z.由xyz(x，y，z)，则|，所以|的最小值为.方法二由方法一得|，又x2y4z1表示一个平面，所以|的最小值d为定点(1,1,0)到平面x2y4z1的距离，即d.(2)(2018浙江学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|3，|b|c|5,01，若bc0，则|ab(bc)|的最小值为_答案3解析建立如图所示的平面直角坐标系，设a，则A在以O为圆心，3为半径的圆上运动设b，c，则bc，取DBC，设(bc)，则(1)(bc)，取EOC使得c，则|ab(bc)|，|，|ab(bc)|，作点E关于BC的对称点E，则|，由E(0,2)易得E(3,5)，|ab(bc)|33，且知当A，D在线段OE上时取等号，|ab(bc)|的最小值为3.思维升华和向量有关的最值问题，要回归向量的本质进行转化，利用数形结合、基本不等式或者函数的最值求解跟踪训练2 (1)(2013浙江)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90BBAC90CABACDACBC答案D解析设BC中点为M，连接P0M，则2222同理22恒成立，|恒成立即P0MAB，取AB的中点N，连接CN，又P0BAB，则CNAB，ACBC.故选D.(2)(2018台州期末)已知m，n是两个非零向量，且|m|1，|m2n|3，则|mn|n|的最大值为()A.B.C4D5答案B解析因为(m2n)24n24mn19，所以n2mn2，所以(mn)2m22mnn25n2，所以|mn|n|n|.令|n|x(0x)，f(x)x，则f(x)1.由f(x)0，得x(舍负)，所以当0x0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxf，故选B.(3)将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星，如图所示，设正八角星的中心为O，并且e1，e2.若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成为e1e2，R的形式，则的最大值为_答案1解析由题意知，要取得最大值，必然是点O到正八角星的7个顶点的向量在如图所示的，中的一个向量e1，此时1；(1)e1(1)e2，此时；()e1e2，此时1；e1e2，此时2；()e1e2，此时1；(1)(1)e1e2，此时；e2，此时1.综上所述，的最大值为1.题型三和向量有关的创新题例5称d(a，b)|ab|为两个向量a，b间的“距离”若向量a，b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()AabBb(ab)Ca(ab) D(ab)(ab)答案B解析由于d(a，b)|ab|，因此对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，得ab10，故abb2b(ab)1120，故b(ab)思维升华解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在跟踪训练3定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量)对于同一平面内向量a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若e是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号)答案解析当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故是正确的；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故是错误的；当ab与c共线时，存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故是错误的；当e与a不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是.1在平面直角坐标系中，若|a|b|c|2，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的取值范围是()A0,22 B0,2C 22,22 D22,2答案D解析在平面直角坐标系中，由于|a|b|c|2，且ab0，设a(2,0)，b(0,2)，c(2cos，2sin)，则(ac)(bc)(22cos，2sin)(2cos，22sin)44(sincos)0，即sincos1，结合三角函数的性质知1sincos，所以|abc|，22,2，故选D.2(2018绍兴质检)已知不共线的两个非零向量a，b满足|ab|2ab|，则()A|a|2|b|C|b|ab|答案A解析设向量a，b的夹角为，则由|ab|2ab|，得(ab)2(2ab)2，即|a|22|a|b|cos|b|24|a|24|a|b|cos|b|2，化简得|a|2|b|cos.因为向量a，b不共线，所以cos(0,1)，所以|a|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.5(2018台州市三区三校适应性考试)已知a，b为单位向量，且ab，|ca|c2b|，则|c2a|cb|的最小值是()A5B.C.D.答案B解析在平面直角坐标系xOy中，不妨令a(1,0)，b(0,1)，设c(x，y)，则|ca|c2b|，易知C(x，y)的轨迹为线段2xy20(0x1)，|c2a|cb|，所以问题转化为求点(2,0)，(0,1)与线段上点的距离之和的最小值，易知最小值为点(2,0)与点(0,1)之间的距离，为.6.如图，在扇形OAB中，AOB，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且xy，若uxy(0)存在最大值，则的取值范围为()A(1,3) B.C.D.答案D解析设BOC，则AOC，因为xy，所以即解得xcoscossin，ycossin，所以usinsincossin()，其中tan，因为0，所以，整理得0，解得2，故选D.7设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种运算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m，n.点P在ycosx的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)在区间上的最大值是()A4B2C2D2答案A解析设(x0，y0)，(x，y)，由题意可得y0cosx0，(x，y)mn(x0，y0)，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos，即y4cos.因为点Q在yf(x)的图象上运动，所以f(x)4cos，当x时，02x，所以当2x0时，f(x)取得最大值4.8已知ABC的外心为O，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且0，则a，b，c的关系为_，cosB的取值范围为_答案a22c23b2解析设AC边上的中点为D，则ODAC，从而有()0b2，同理有c2，()b2c2，同理有c2a2，a2b2，由0，得a22c23b2.cosB(当且仅当ac时取等号)，又cosB1，cosB0)，mn，m，nR，且n，则|的取值范围是_答案解析以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系不妨假设A在x轴上方，则B(6,0)，A(1，)由可得直线CO的方程为yx.设O，其中x0.由mn，得mn，所以解得n.由n，可得x，所以|x.13如图所示，已知点D为ABC的边BC上一点，3，En(nN*)为边AC上的一系列点，满足an1(3an2)，其中实数列an中，an0，a11，则数列an的通项公式为an_.答案23n11解析因为3，所以().设m，则由an1(3an2)，得0，即man1，m(3an2)，所以an1(3an2)，所以an113(an1)因为a112，所以数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an123n1，所以an23n11.14(2018浙江重点中学考试)已知在ABC中，ACAB，AB3，AC4.若点P在ABC的内切圆上运动，则()的最小值为_答案2解析因为ACAB，所以以A为坐标原点，以AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)由题意可知ABC内切圆的圆心为D(1,1)，半径为1.因为点P在ABC的内切圆上运动，所以可设P(1cos，1sin)(02)所以(1cos，1sin)，(12cos，22sin)，所以()(1cos)(12cos)(1sin)(22sin)1cos2cos222sin21cos112，当cos1，即P(0,1)时，()取到最小值，且最小值为2.15(2018浙江杭州二中考试)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则的取值范围是_若向量，则的最小值为_答案0,1解析以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则易得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，P(cos，sin)，则(cos，sin)(cos1，sin)cos2cossin21cos，又因为0，所以1cos0,1由，得(1,1)(cos，sin)，所以解得则，当时，5，当时，设f(x)(x0)，则f(x)0(x0)，所以函数f(x)在0，)上单调递增；则当tan0时，取得最小值.综上所述，的最小值为.16已知非零向量a，b，c满足|a|b|2ab1，且ac和bc的夹角为，则(ac)(bc)的最小值是_答案解析由题可知，单位向量a和b的夹角为，又ac和bc的夹角为，所以点C的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的劣弧和劣弧关于直线AB对称的弧，即过点A，O，B的弧(如图)以O为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴(向右为正方向)，建立平面直角坐标系(图略)，则A，B.当点C在劣弧上时，设C(cos，sin)，则有ac，bc，所以(ac)(bc)cos.当点C在过点A，O，B的弧上时，设C(1cos，sin)，则有ac，bc，所以(ac)(bc)3cos，当且仅当时，取最小值.故(ac)(bc)的最小值为.
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