（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆（第1课时）讲义（含解析）.docx

9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系a2b2c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.提示点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式.(1)直线与椭圆相离0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等.()题组二教材改编2.P49T4椭圆1的焦距为4，则m等于()A.4B.8C.4或8D.12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.3.P80T3(1)过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4.P49T6已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0).由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题组三易错自纠5.(2018浙江余姚中学质检)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是()A.m2或m2C.1m2或2m2m0，解得m2或2mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1B.y21C.1D.1答案A解析AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.故选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案A解析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.2.已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A.2B.6C.4D.12答案C解析由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.3.椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.B.C.D.4答案A解析F1(，0)，PF1x轴，P，|PF1|，|PF2|4.4.设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_.答案5解析由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5，2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)(2019丽水调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1D.1答案D解析设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，即a8，c4，b4，故所求的轨迹方程为1.(2)在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案A解析由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0).命题点2待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为_.答案1解析设椭圆的方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_.答案1解析椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆的标准方程为1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.跟踪训练1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，椭圆的离心率为，e，即，解得b29，椭圆G的方程为1，故选A.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.答案1解析所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.B.C.D.答案D解析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.(2)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析设P(x，y)，则|OP|2x2y2，由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，则|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，椭圆的离心率e.(3)(2018杭州调研)已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_.答案解析因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得e.命题点2求参数的值(或范围)例4(2017全国)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)答案A解析方法一设椭圆焦点在x轴上，则0m3，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x，0).故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1，可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0，19，).故选A.方法二当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即，解得m9.故m的取值范围为(0，19，).故选A.思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：直接求出a，c，利用离心率公式e求解.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解.由椭圆的定义求离心率，e，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来.构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e，一般步骤如下：()建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2BacCc20；()化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程ABeCe20；()求解：解一元二次方程，得e的值；()验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e(0，1)确定离心率e的值.若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围.(2)椭圆几何性质的应用技巧与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0e1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.跟踪训练2(1)已知椭圆1(0bb0)中，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，直线yx交椭圆于第一象限内的点C，若SBFOSBFC，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.1答案A解析联立直线yx与椭圆1，得在第一象限的交点为C，又因为SBFOSBFC，所以直线BF与直线yx的交点为线段OC的中点，即线段OC的中点在直线BF：1上，则1，化简得椭圆的离心率e，故选A.(3)(2018温州高考适应性测试)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线yx与椭圆的交点，即，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以c0，所以e43e210，又0e1，解得e2，即0e3B.a3或a3或6aa60，解得a3或6a2)上的动弦EF过的一个焦点(动弦不在x轴上)，若的另一个焦点与动弦EF所构成的三角形的周长为20，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C解析由椭圆的定义，得4a20，解得a5.又c2a2b2m6(m2)4，所以c2，所以椭圆的离心率e，故选C.3.(2018浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为1，矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为()A.(1，2) B.(1，3)C.(，) D.(1，)答案C解析根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x轴，y轴，且椭圆与矩形都以原点O为对称中心，如图是矩形的边过焦点时的情形，由椭圆方程1，知当x2时，y，故A，此时，矩形的长与宽的比值为，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的比值大于，故选C.4.设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1|PF2|的值为()A.8B.10C.12D.15答案D解析由椭圆方程1，可得c24，所以|F1F2|2c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64，所以342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选D.5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A.B.C.D.答案D解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式正确，式不正确.故选D.6.(2018浙江省金华十校期末)椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2b2，3b2，椭圆M的离心率为e，e的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a2，2b2a23b2，即2a22c2a23a23c2，即e.令f(e)e，则f(e)在上是增函数，当e时，e取得最小值.7.(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则ABF2的周长的最小值为_，ABF2的面积的最大值为_.答案102解析设F1是椭圆的左焦点.如图，连接AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|BF2|2a6，所以要使ABF2的周长最小，必有|AB|2b4，所以ABF2的周长的最小值为10.2c|yA|yA|2，所以ABF2面积的最大值为2.8.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.答案1解析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F1F2A30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.9.已知椭圆C1：1(ab0)与椭圆C2：1(ab0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点为F(，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为_.答案解析联立两式相减得，又ab，所以x2y2，故四边形ABCD为正方形，(*)又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280，所以b22，则a24，所以椭圆C的离心率e.10.已知A，B，F分别是椭圆x21(0b0，则椭圆的离心率的取值范围为_.答案解析如图所示，线段FA的垂直平分线为x，线段AB的中点为.因为kABb，所以线段AB的垂直平分线的斜率k，所以线段AB的垂直平分线方程为y.把xp代入上述方程可得yq.因为pq0，所以0，化为b.又0b1，解得b21，即1b2，所以01b2|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为1.12.已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1，0)，A2(1，0)，B1，B2.13.(2018浙江省台州适应性考试)已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，且满足|OP|OF|，|PF|6，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析如图，设椭圆C的标准方程为1(ab0)，椭圆C的右焦点为M，连接PM，则|FM|2|OF|10，由|OP|OF|OM|知，FPPM，又|PF|6，所以|PM|8，所以2a|PF|PM|14，所以a7，又c5，所以b2a2c2492524，所以椭圆C的标准方程为1.14.(2018浙江省镇海中学模拟)设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.1，1)答案A解析如图，作出椭圆的左焦点F，分别连接AB，AF，BF，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形.由0，知FAFB，所以四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设|AF|m，|AF|n，则由椭圆的定义知mn2a，在RtAFF中，m2n24c2.由，得mn2(a2c2)，则.令t，得t.由|FB|FA|2|FB|，得t1，2，所以t，即2，解得e，故选A.15.(2018嘉兴测试)椭圆1(ab0)，直线l1：yx，直线l2：yx，P为椭圆上任意一点，过P作PMl1且与l2交于点M，作PNl2且与l1交于点N，若|PM|2|PN|2为定值，则椭圆的离心率为_.答案解析设P(x0，y0)，则直线PM的方程为yxy0，直线PN的方程为yxy0，分别与直线l2，l1的方程联立可得M，N，从而|PM|2|PN|2xy.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以b2xa2ya2b2.又|PM|2|PN|2为定值，所以，从而e2，从而e.16.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围.解由，得.又由正弦定理得，所以，即|PF1|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，所以|PF2|，|PF1|，因为PF2是PF1F2的一边，所以有2c0，所以e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(1，1).