资源描述
附录:数学高考“素养立意”的解读与典例分析一、核心素养1.“核心素养”的内涵核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力.“核心素养”之“核心”应当是基础,是起着奠基作用的品格和能力,聚集的是思维素养.核心素养强调的不是知识和技能,而是获取知识的能力.2.核心素养的基本特点(1)核心素养是知识、能力和态度等的综合表现.(2)核心素养可以通过接受教育、训练来形成和发展.(3)核心素养具有发展连续性和阶段性.(4)核心素养兼具个人价值和社会价值.(5)核心素养的作用发挥具有整合性.二、数学核心素养数学核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体.三、如何认识和理解数学的核心素养数学核心素养是学生通过数学的学习、反思、积累、升华、孕育出来的,面对复杂的、不确定的现实情境和问题时,能够综合运用特定的数学观念、知识、技能、思维模式、探究技能等,用积极的态度、科学的精神去提出问题、分析问题、解决问题、交流结果的过程中表现出来的综合品质.四、在教学中培育学生核心素养的措施1.树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识.2.教师在教学实践中要结合情境不断探索和创新教学方式,以有效提升学生的数学基本能力.3.以学生发展为本,充分发挥数学在培养学生的科学精神、思维品质的重要作用.4.帮助学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会数学内容中所蕴含的基本思想和文化价值,积累学习数学和解决实际问题的基本经验,提升数学基本能力,特别是抽象能力、推理能力、建模能力、运算能力、直观想象能力、数据分析能力.5.坚持并加强问题导向,重视创设合适的教学情境,特别是实际情境,发展学生的创新意识和应用能力.6.把教学活动的重心放在促进学生学会学习数学上,要加强“学法”指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯;充分运用信息技术手段,积极探索有利于学生学习的多样化教学方式.五、数学学科的各项核心素养1.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征.在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.2.逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个问题的思维过程.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出问题;能掌握推理的基本形式,表述论证的过程;能理解数学知识之间的联系,建构知识框架;形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学交流能力.3.数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验.学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识.4.直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.5.数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.在数学运算核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展,养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.6.数据分析数据分析是指针对研究对象获得相关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程.主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结论.在数据分析核心素养的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问题的意识,养成通过数据思考问题的习惯,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.六、“素养立意”的典例剖析【例1】已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.4答案D解析圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),3+2a-11=0,直观想象解得a=4,a4,-a4=(1,-1),数学运算点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,数学运算圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,数学运算圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.直观想象和数学运算【例2】已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,E,F分别是AB,CD上两动点,且AE=DF,把四边形BCFE沿EF折起,使平面BCFE平面ABCD,若折得的几何体的体积最大,则该几何体外接球的体积为.答案6423解析画出折得的几何体(直三棱柱)如图所示,直观想象设DF=x,FC=6-x,则DC=x2-(6-x)2=12x-36,数学抽象和数学运算由题设底面面积SDFC=12(6-x)12x-36=3(6-x)x-3,数学抽象和数学运算因为高为4,所以当g(x)=(6-x)x-3的最大值时,折得的几何体的体积最大.逻辑推理令x-3=tx=t2+3,6-x=3-t2,数学抽象则g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t,数学建模求导可得f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故当t=1x=4时,数学运算即DC=16-4=23时,几何体的体积最大,此时底面外接圆的半径为r=2.设外接球的球心为O,则点O到底面的距离d=2,直观想象所以球的半径R=d2+r2=4+4=22,则外接球的体积V=43(22)3=6423.数学运算【例3】从某校随机抽取200名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).编号分组频数10,2)1222,4)1634,6)3446,8)4458,10)50610,12)24712,14)12814,16)4916,184合计200(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 h的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.解(1)由频率分布表,得该周课外阅读时间不少于12 h的频数为12+4+4=20,数据分析故可估计该周课外阅读时间少于12 h的概率为1-20200=0.9.数学运算(2)由频率分布表可知数据在4,6)的频数为34,故这一组的频率为0.17,即a=0.085,数据在8,10)的频数为50,故这一组的频率为0.25,即b=0.125.数据分析(3)数据的平均数为1200(121+316+534+744+950+1124+1312+154+174)=7.68(h),数学运算故样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.数据分析【例4】(2017全国,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.直观想象又由1a2+1b21a2+34b2知,C不经过点P1,所以点P2在C上.逻辑推理因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1.故C的方程为x24+y2=1.数学运算(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.数学运算设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.当且仅当m-1时,0,于是l:y=-m+12x+m,逻辑推理即y+1=-m+12(x-2),所以l过定点(2,-1).数学抽象
展开阅读全文