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(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018洛阳模拟)已知抛物线C：yx2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为，抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)由题意可知A，B，设P(xP，x)，xP，所以k xP(1,1)，故直线AP的斜率k的取值范围是(1,1)(2)直线AP：ykxk，直线BQ：xkyk0，联立可知，点Q的横坐标为xQ，|PQ|(xQxP)，|PA|(1k)，所以|PA|PQ|(1k)3(1k)，令f(x)(1x)3(1x)，1x1，则f(x)(1x)2(24x)2(1x)2(2x1)，当1x0，当x1时，f(x)b0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x2y2c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，A1AB面积的最大值为2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围解(1)设B点到x轴距离为h，则2|A1O|hah，易知当线段AB在y轴时，hmax|BO|c，ac2，e，a2c，a2，c1，b，椭圆C的方程为1，圆O的方程为x2y21.(2)当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|3；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，直线为圆的切线，d1，m2k21，联立得(4k23)x28kmx4m2120，判别式48(3k22)0，由根与系数的关系得弦长|PQ|x1x2|，令t4k233，则|PQ|.综上，|PQ|.3(2018江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴为MN，点P(4,0)满足15.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)(4，b)(4，b)16b215，所以b1，又，所以a24，从而椭圆C的方程为y21.(2)当l不为x轴时，设l：xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立l与C的方程可得(m24)y28my120，所以y1y2，y1y2，x1x2y1y2(x14)(x24)y1y2(1)(1m2)y1y24m(y1y2)1616.因为为定值，所以，解得，此时定值为.当l为x轴时，A(2,0)，B(2,0)412.综上，存在，使得为定值.4(2018宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：xx0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，ca，又44，a2b25，由b2a2c2a2，解得a2，b1，c.椭圆C的标准方程为y21.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l0为任意的xx0(x02)都满足要求；当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x11x2)，则dAx0x1，dBx0x2，|PA|(x11)，|PB|(1x2)， ，解得x0.由得(14k2)x28k2x4k240，x1x2，x1x2，x04.综上可知，存在直线l0：x4，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立5(2018四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x2左侧的动点P作PHl于点H，HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|MF|，记动点P的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点F作直线m交曲线于A，B两点，点C在l上，且BCx轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由解(1)设P(x，y)，由题意可知|MF|PF|，所以，即，化简整理得y21，即曲线的方程为y21.(2)由已知可得直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为xny1，联立消去x，得(n22)y22ny10，0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(2，y2)，则y1y2，y1y2，x1ny11，直线AC的斜率为k，直线AC的方程为yy2(x2)，即y，又，直线AC的方程为y，直线AC过定点N.
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