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第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是两个设A,B是两个对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个元素x,在集合B中都有的元素y与之对应名称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),xA对应f:AB2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),xA中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=ax(a0且a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=logax(a0,a1)的定义域为x|x0.(7)y=tan x的定义域为xxk+2,kZ.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m,n,则在fg(x)中,mg(x)n,从而解得x的范围,即为fg(x)的定义域.(2)若fg(x)的定义域为m,n,则由mxn确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为4ac-b24a,+;当a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a0且a1)的值域是R.题组一常识题1.教材改编 以下属于函数的有.(填序号)y=x;y2=x-1;y=x-2+1-x;y=x2-2(xN).2.教材改编 已知函数f(x)=x+1,x0,x2,x0,则f(-2)=,ff(-2)=.3.教材改编 函数f(x)=8-xx+3的定义域是.4.教材改编 已知集合A=1,2,3,4,B=a,b,c,f:AB为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=x-2x+2的定义域是.6.设函数f(x)=(x+1)2,x1,4-x-1,x1,则使得f(x)1的自变量x的取值范围为.7.已知f(x)=x-1,则f(x)=.8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为1,4的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1B.0,1C.(-,0)(1,+)D.(-,0)1,+)(2)函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为()A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1总结反思 (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)lnx的定义域是()A.0,1B.0,1)C.0,1)(1,4D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为-1,1,则f(lg x)的定义域为()A.-1,1B.1,2C.10,100D.0,lg 2总结反思 (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如fg(x)与fh(x),其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为-3,3,则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)=.(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f2018x=3x,则f(x)=.总结反思 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数fg(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件fg(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.12B.13C.14D.15(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且ff(x)=4x+1,则f(x)=.探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)2018衡水调研 设函数f(x)=x+1,x0,12x,x0,则ff(-1)=()A.32B.2+1C.1D.3(2)已知函数f(x)=2x,x2,f(x-1),x2,则f(log27)=.总结反思 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=(3+a)x+a,x0,若f(0)+f(a)=2,则a的值为.总结反思 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)2018惠州二模 设函数f(x)=2-x-1,x0,x12,x0,若f(x0)1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-2)(0,+)D.(-,-1)(1,+)(2)2018全国卷 设函数f(x)=2-x,x0,1,x0,则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是()A.(-,-1B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)总结反思 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=2x+1,x0,若f(a)=4,则实数a的值为()A.12B.18C.12或18D.1163.【微点3】已知函数f(x)=3+log2x,x0,x2-x-1,x0,则不等式f(x)5的解集为()A.-1,1B.-2,4 C.(-,-2(0,4)D.(-,-20,44.【微点3】2018湖北咸宁联考 已知函数f(x)=x2-2x,x0,1x,x0,则不等式f(x)x的解集为()A.-1,3B.(-,-13,+)C.-3,1D.(-,-31,+)5.【微点2】设函数f(x)=3x-b,x1,2x,x1,若ff56=4,则b=.第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:ABf:AB2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.解析 对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故错.的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故错.只有表示函数.2.45解析 因为f(-2)=(-2)2=4,所以ff(-2)=f(4)=4+1=5.3.(-,-3)(-3,8解析 要使函数有意义,需8-x0且x+30,即x8且x-3,所以其定义域是(-,-3)(-3,8.4.7解析 只含有一个元素时有a,b,c;有两个元素时,有a,b,a,c,b,c;有三个元素时,有a,b,c.所以值域C共有7种不同情况.5.x|x2解析 要使函数有意义,需x-20,x+20,解得x2,即定义域为x|x2.6.(-,-20,10解析 f(x)是分段函数,f(x)1应分段求解.当x1时,f(x)1(x+1)21x-2或x0,x-2或0x0,得x1或x0,解得x0,x-3,故函数的定义域为(-3,0.例2思路点拨 (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x0求解;(2)由x-1,1,求得x2+1的范围是1,2,再由1lg x2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C解析 (1)f(x)的定义域为0,2,要使f(2x)有意义,则有02x2,0x1,要使g(x)有意义,应有0x1,lnx0,0x1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为-1,1,所以-1x1,故0x21,所以1x2+12.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1lg x2,即10x100,所以函数f(lg x)的定义域为10,100.故选C.变式题(1)A(2)-1,2解析 (1)由题意知0x+11,解得-1x0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为-3,3,所以-3x3,所以-1x2-12,所以函数y=f(x)的定义域为-1,2.例3思路点拨 (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f2018x的方程组,消去f2018x即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)4036x-x解析 (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,2a=-2,a+b=1,a=-1,b=2,又f(2)=15,c=15,f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f2018x=3x,且x0,用2018x代替中的x,得f2018x+2f(x)=32018x,解组成的方程组,消去f2018x得f(x)=4036x-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+13或-2x-1解析 (1)设t=2x-1,则x=t+12,故f(t)=4t+12+3=2t+5, 令2t+5=6,则t=12,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,联立,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a0),由ff(x)=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,f(x)=2x+13或f(x)=-2x-1.例4思路点拨 (1)先求f(-1)的值,再求ff(-1)的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D(2)72解析 (1)由题意可得f(-1)=12-1=2,ff(-1)=f(2)=3,故选D.(2)因为2log273,所以1log27-10两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1解析 (1)根据题意可知f(1)=loga1=0,所以ff(1)=f(0)=(3+a)0+a=a=3,即a=3,故选D.(2)f(x)=2x,x0,x-lnx,x0,f(0)=20=1.当a0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6思路点拨 (1)分x00和x00两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D解析 (1)当x00时,由f(x0)=2-x0-11,即2-x02,解得x00时,由f(x0)=x0121,解得x01.x0的取值范围是(-,-1)(1,+).(2)f(x)的图像如图所示.当x+10,2x0,即x-1时,若满足f(x+1)2x,即x0,2x0,即-1x0时,f(x+1)f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x0.故选D.应用演练1.A解析 由函数f(x)=2x+1,x0,所以a=12,a0或a=18,a0,所以a=18,故选B.3.B解析 由于f(x)=3+log2x,x0,x2-x-1,x0,所以当x0时,3+log2x5,即log2x2=log24,得0x4;当x0时,x2-x-15,即(x-3)(x+2)0,得-2x0.所以不等式f(x)5的解集为-2,4.4.A解析 当x0时,由x2-2xx,得0x3;当x0时,由1xx,得-1x0.故不等式f(x)x的解集为-1,3.5.12解析 由ff56=4,可得f52-b=4.若52-b1,即b32,可得252-b=4,解得b=12.若52-b32,可得352-b-b=4,解得b=7801x2,故1x22,即2x4,所以选B.例2配合例4使用 2018柳州高级中学三模 已知函数f(x)=x2+sin2x,x1,-f(x+3),x1,则f(-2018)=()A.-2B.2C.4+22D.-4-22解析 A当x1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x),可知当x1,x+1,x1,若f(1-a)=f(1+a)(a0),则实数a的值为.答案 1解析 a0,1-a1,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=1a,即a2-2a+1=0,a=1.例4补充使用 2018武邑中学模拟 若函数f(x)=x+a,x2,log4x,x2的值域为R,则a的取值范围是.答案 a-32解析 f(x)=log4x在x2时的值域为12,+,f(x)=x+a在x2时的最大值必须大于等于12,即满足2+a12,解得a-32.故答案为a-32.
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