资源描述
第60练 向量法求解空间角和距离问题基础保分练1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A.5B.6C.4D.82.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.B.C.D.3.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.14.(2019绍兴一中模拟)设点M是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是()A.B.C.1D.5.平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.6.如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC的夹角的余弦值为()A.B.C.D.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且1，N为B1B的中点，则|为()A.aB.aC.aD.a8.P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A.60B.70C.80D.909.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是_.10.如图所示，已知空间四边形OABC中OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_.能力提升练1.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.2.(2019浙江名校联盟联考)在平面内，已知ABBC，过直线AB，BC分别作平面，使锐二面角AB为，锐二面角BC为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.3.(2019金华一中模拟)已知点P是正方体ABCDA1B1C1D1表面上一动点，且满足PA2PB，设PD1与平面ABCD所成的角为，则的最大值为()A.B.C.D.4.过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A.30B.45C.60D.905.如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为_.6.如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.答案精析基础保分练1A2.B3.B4.A5.B6.C7A8.D9.10.0能力提升练1B设A1在底面ABC内的射影为O，过O作OHBC交AB于点H，以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设ABC的边长为1，则A，B1，平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值sin|cos，n|.2A由题意以平面为底面，以平面，为两相邻的侧面构造正四棱锥EABCD，设正四棱锥的底面边长为2，以点B为坐标原点，以AB，BC所在直线，过点B垂直于平面的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题意易得B(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1，)，则(2,0,0)，(0,2,0)，(1,1，)，设平面的法向量为m(x，y，z)，则有令z1，得平面的一个法向量为m(0，1)，同理可得平面的一个法向量为n(，0，1)，则平面和平面所成锐二面角的余弦值为|cosm，n|，故选A.3A以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，P(x，y，z)，则A(0,2,0)，因为PA2PB，所以2，即x22z2，所以点P的轨迹为以点Q为球心，为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的，要使得PD1与底面ABCD所成的角最大，则PD1与底面ABCD的交点到点D的距离最短，从而点P在上，且在QD上，则DPDQ2，此时，tan1，所以的最大值为，故选A.4B建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，易得平面APB的一个法向量为n1(0,1,0)，平面PCD的一个法向量为n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求二面角的大小是45.5.解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.6.解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设O是AC中点，由已知得AC，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A，B，C，作DHAC于H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH，因此可设D，则，与平行的单位向量为n(0,1,0)，所以cos|cos，n|，所以cos1时，cos取最大值.
展开阅读全文