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第71练 高考大题突破练直线与圆锥曲线的位置关系基础保分练1已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(1,0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程2已知圆O：x2y21过椭圆C：1(ab0)的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0，t)作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求OMN的面积的最大值3已知椭圆1(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.求的值能力提升练4(2018云南11校跨区联考)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点证明：直线OD平分线段MN.答案精析1解(1)依题意可得解得a，b1，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1)联立得方程组消去y整理得(12k2)x24k2x2(k21)0，所以x1x2，x1x2.所以y1y2k2x1x2(x1x2)1.因为OMON，所以0，所以x1x2y1y20，所以k，即直线l的方程为y(x1)2解(1)圆O过椭圆C的短轴端点，b1.又线段PQ长度的最大值为3，a13，即a2，椭圆C的方程为x21.(2)由题意可设切线MN的方程为ykxt，即kxyt0，则1，得k2t21.联立得方程组消去y整理得(k24)x22ktxt240.其中(2kt)24(k24)(t24)16t216k264480，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|MN|.将代入得|MN|，SOMN1|MN|，而1，当且仅当|t|时等号成立，即t.综上可知，(SOMN)max1.3解(1)设F(c,0)由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c，又因为B(0，b)，F(c,0)，故直线BF的斜率k2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)由(1)可得椭圆的方程为1，直线BF的方程为y2x2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x25cx0，解得xP.因为BQBP，所以直线BQ的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x240cx0，解得xQ.又因为及xM0，可得.4(1)解由题意得解得故椭圆E的方程为1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0x1x2,2y0y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF，当n0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n0时，直线MN的斜率kMN.点M，N在椭圆E上，整理得，0，又2x0x1x2,2y0y1y2，直线OP的斜率为kOP，直线OD的斜率为kOD，直线OD平分线段MN.
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