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第二章 数列章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题1等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推公式an1andq中项由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时A叫做x与y的等差中项，并且A如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn1前n项和公式Snna1d当q1时，Sn，当q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN，mnstamanasatamanasat性质kn是等差数列，且knN 是等差数列是等比数列n2k1，kNS2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p，q为常数anabn(a0，b0)利用前n项和公式Snan2bn (a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想题型一方程思想求解数列问题例1等差数列an各项为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11且b2S264，是公比为64的等比数列，求an，bn的通项公式解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由q(6d)64知q为正有理数，又由q知d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an2n1，bn8n1.反思感悟在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量跟踪训练1记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解设数列an的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN.题型二转化与化归思想求解数列问题例2在数列an中，Sn14an2，a11.(1) 设cn，求证：数列cn是等差数列；(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式(1)证明Sn14an2，当n2，nN时，Sn4an12.得an14an4an1.方法一对an14an4an1两边同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，数列cn是等差数列由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以为首项，为公差的等差数列方法二an12an2an4an12(an2an1)，令bnan12an，则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列，bn32n1.cn，cn1cn，c1，cn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，an(3n1)2n2.Sn14an22n(3n1)2.Sn2n1(3n4)2(n2)当n1时，S11a1，符合Sn2(3n4)2n1(nN)反思感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出跟踪训练2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列题型三函数思想求解数列问题命题角度1借助函数性质解数列问题例3一个等差数列an中，3a85a13，a10.若Sn为an的前n项和，则S1，S2，Sn中没有最大值？请说明理由解因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解设an的首项为a1，公差为d，则有3(a17d)5(a112d)，所以da1，所以Snna1dn2a1na1a1(n20)2a1，故n20时，Sn最大，即前20项之和最大反思感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响跟踪训练3已知数列an的通项公式为an2n2019，问这个数列前多少项的和最小？解设an2n2 019，对应的函数为y2x2 019，易知y2x2 019在R上单调递增，且当y0时，x，因此，数列an为单调递增数列，a1 0090，故当1n1 009时，an1 009时，an0.数列an中前1 009项的和最小命题角度2以函数为载体给出数列例4已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解(1)an1fan，an1an，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)反思感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题跟踪训练4设yf(x)是一次函数，f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)_.答案2n23n解析设f(x)kxb(k0)，又f(0)1，则b1，所以f(x)kx1(k0)又f(4)2f(1)f(13)，所以(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2.所以f(x)2x1，则f(2n)4n1.所以f(2n)是公差为4的等差数列所以f(2)f(4)f(2n)2n23n.1设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6B7C8D9答案A解析设等差数列an的公差为d，a4a66，a53，d2，a610，故当等差数列an的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.2数列1,12,1222，12222n1，的前99项和为()A2100101B299101C210099D29999答案A解析由数列可知an12222n-12n1，所以，前99项的和为S99(21)(221)(2991)22229999992100101.3在等比数列an中，已知a24，a616，则a4_.答案8解析aa2a641664，a48.若a48，则aa2a40.a48舍去a48.4等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.答案5解析log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a5)log2a，又a1a5a4，且a30，a32.log2alog2255.5若数列an的前n项和Snn2n(n1,2,3，)，则此数列的通项公式为_；数列nan中数值最小的项是第_项答案an3n163解析利用an求得an3n16.则nan3n216n3，所以n3时，nan的值最小1等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和3在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题
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