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第1课时极坐标系的概念学习目标1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性知识点极坐标系思考1某同学说他家在学校东偏北60，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？答案能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的思考2类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？答案选一个点O为基点，射线OA为参照方向梳理极坐标系的概念(1)极坐标系的定义取极点：平面内取一个定点O；作极轴：自极点O引一条射线Ox；定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)(2)点的极坐标定义：有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)；意义：|OM|，即极点O与点M的距离(0)xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角类型一由极坐标画出点例1根据下列极坐标作出各点(1)A，B，C；(2)D，E，F，G.解如图，反思与感悟由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”跟踪训练1根据下列极坐标，作出各点A(5,0)，B，C，D.解在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的类型二求点的极坐标例2设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定0，)解如图所示，关于极轴的对称点为B.关于直线l的对称点为C.关于极点O的对称点为D.引申探究1若将极角限定为00,00，0,2)解作出图形，可知A关于直线的对称点是.类型三极坐标系中两点间的距离例3在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值解如图AOB，AOB为直角三角形，|AB|6.引申探究在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标解取AB的中点M，连接OM，在AOB中，AOB，OAOB，AOM，xOM.又|OM|6cos3，M的极坐标为.反思与感悟在极坐标系中，如果P1(1，1)，P2(2，2)，那么两点间的距离公式|P1P2|的两种特殊情形为当122k，kZ时，|P1P2|12|；当122k，kZ时，|P1P2|12|.跟踪训练3(1)在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为_答案5解析作出图形，如图所示，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|5.(2)在极坐标系中，若ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状解因为|AB|25282258cos49，|AC|25232253cos49，|BC|28232283cos49.所以ABC是等边三角形1极坐标系中，下列与点(1，)相同的点为()A(1,0) B(2，)C(1,2016) D(1,2017)答案D2点M的直角坐标是(1，)，则点M的极坐标为()A.B.C.D.(kZ)答案C3在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是()A.B.C.D.答案B解析根据极坐标的对称关系知，点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.4在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|_.答案解析|AB|.1极坐标系的四要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向四者缺一不可2在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置3确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一般形式为(，2k)，kZ，则(1)为点P到极点的距离，是个定值(2)极角为满足2k，kZ的任意角，不惟一，其中是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角一、选择题1在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是()A.B.C.D.答案D解析与点M重合的点的极坐标可表示为(kZ)，故选D.2极坐标系中，极坐标对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C解析因为极坐标对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限3在极坐标系中，已知点A(4,1)，B，则线段AB的长度是()A1B.C7D5答案D解析设极点为O，因为点A(4,1)，B，所以OAOB，所以AB5.4已知极坐标系中，点A，B，若O为极点，则OAB为()A等边三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形答案D解析由题意，得AOB，|AB|，所以|OB|2|AB|2|OA|2且|AB|OB|，故OAB为等腰直角三角形5在极坐标中，已知点P，Q，则线段PQ的中点M的一个极坐标为()A.B.C.D.答案D解析如图所示，|OP|OQ|2，POQ，则|PQ|2，|OM|PQ|，xOM，所以点M的一个极坐标为.6已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，则顶点C的极坐标为()A.B.C.D.答案C解析如图所示，由于点A，B，故极点O为AB中点，故等边ABC的边长|AB|4，则COAB，|CO|2，则点C的极坐标为，即.二、填空题7在极坐标系中，若两点A，B的极坐标分别为，则AOB(其中O为极点)的面积为_答案3解析由题意知，AOB，AO3，OB4，所以AOB(其中O为极点)的面积为34sin3.8已知在极坐标系中，极点为O,02，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_答案或解析在射线OM上符合条件的点为，在射线OM反向延长线上符合条件的点为.9在极坐标系中，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则点M的一个极坐标为_答案(1,0)解析如图所示，在极坐标系中，点P的极坐标为，则|OP|2，xOP.由题意，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则|OM|OP|cos1，故点M的一个极坐标为(1,0)10已知在极坐标系中，AOB为等边三角形，A，若0，0,2)，则点B的极坐标为_答案或解析设B(，)，由AOB，得2k，kZ，即2k，kZ.由|OA|2，得2，又因为0,2)，所以或.所以点B的极坐标为或.三、解答题11在极坐标系中，分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M的极坐标(1)0，0,2)；(2)0，R.解(1)当0，0,2)时，点M关于极轴的对称点M的极坐标为.(2)当0，R时，点M关于极轴的对称点M的极坐标为，kZ.12在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积解(1)如图所示，由A，B，C，得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC.AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC为等边三角形(2)由上述可知，AC2OAsin222.SABC(2)23.13某大学校园的部分平面示意图如图：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|BC|，|OC|600m，建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定0,02且极点为(0,0)解以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系由|OC|600m，AOC，OAC，得|AC|300m，|OA|300m，又|AB|BC|，所以|AB|150m.同理，得|OE|2|OG|300m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，)，G.四、探究与拓展14已知两点的极坐标A，B，则|AB|_，AB与极轴正方向所夹的角为_答案3解析|AO|BO|3，AOB，|AB|3.ADxADO.15已知定点P.(1)将极点移至O处，极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标解(1)设P点新坐标为(，)，如图所示，由题意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)2242cos1612244，2.又，sinOPO2，OPO.OPP，PPx.POx.P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(，)，则4，.P点的新坐标为.
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