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2.1第一课时数列的概念与简单表示法预习课本P2829，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？(2)数列的项与项数一样吗？(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an点睛(1)数列中的数是按一定顺序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现例如：1，1,1，1,1，；2,2,2，.2数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式点睛(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列1,1,1，是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)有些数列没有通项公式()解析：(1)正确每项都为1的常数列，有无穷多项(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式答案：(1)(2)(3)2在数列1,0，中，0.08是它的()A第100项B第12项C第10项 D第8项解析：选Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3数列的通项公式为an则a2a3等于()A70 B28C20 D8解析：选C由an得a22，a310，所以a2a320.4在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，中，x_.解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此x5813.答案：13数列的概念及分类典例下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin ，sin ，sin ，sin ，C1，D1,2,3,4，30解析数列1，是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列1，是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，30是递增数列，但不是无穷数列答案C1有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列2数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列活学活用给出以下数列：1，1,1，1，；2,4,6,8，1 000；8,8,8,8，；0.8,0.82,0.83,0.84，0.810.其中，有穷数列为_；无穷数列为_；递增数列为_；递减数列为_；摆动数列为_；常数列为_(填序号)解析：有穷数列为；无穷数列为；递增数列为；递减数列为；摆动数列为；常数列为.答案：由数列的前几项求通项公式典例(1)数列，的一个通项公式是_(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式，；3,7，15,31，；2,6,2,6，.解析(1)数列可写为：，分子满足：312,422,532,642，分母满足：5312,8322,11332,14342，故通项公式为an.答案an(2)解：均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，an.正负相间，且负号在奇数项，故可用(1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，an(1)n(2n11)为摆动数列，一般求两数的平均数4，而242,642，中间符号用(1)n来表示an4(1)n2或an由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若n和n1项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)熟悉一些常见数列的通项公式(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳 活学活用写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).判定数列中项的问题典例已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解(1)由题设条件，知an2n.a42410，a2522555.(2)假设253是这个数列中的项，则2532n，解得n121.253是这个数列的第121项假设153是这个数列中的项，则1532n，解得n72，这与n是正整数矛盾，153不是这个数列中的项已知数列an的通项公式，判断某一个数是否是数列an的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列an的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列an中的项活学活用数列1，则是该数列的()A第127项B第128项C第129项 D第130项解析：选B把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，；第四组四项：，；容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位由12158128，得是该数列的第128项层级一学业水平达标1有下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；数列的项数一定是无限的；数列的通项公式的形式是唯一的；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，不存在通项公式其中正确的是()ABCD解析：选A结合数列的定义与函数的概念可知，正确；有穷数列的项数就是有限的，因此错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，存在通项公式，错误故选A.2下列说法正确的是()A数列1,3,5,7与数集1,3,5,7是一样的B数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C数列是递增数列D数列是摆动数列解析：选D数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列3数列an中，an3n1，则a2等于()A2B3C9 D32解析：选B因为an3n1，所以a23213.4数列0，的一个通项公式是()Aan Ban Can Dan 解析：选C已知数列可化为：0，故an .5已知数列，则0.96是该数列的()A第20项 B第22项C第24项 D第26项解析：选C由0.96，解得n24.6已知数列，2，则2是该数列的第_项解析：a1，a2，a3，a4，an.由23n120n7，2是该数列的第7项答案：77数列a，b，a，b，的一个通项公式是_解析：a，b，故an(1)n1.答案：(1)n18已知数列an的通项公式an192n，则使an0成立的最大正整数n的值为_解析：由an192n0，得n.nN*，n9.答案：99观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)，_，；(2)，_，；(3)2,1，_，；(4)，_，.解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号 12 34 5 6 _于是应填，而分子恰为10减序号，故应填，通项公式为an.(2)，.只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差故应填，通项公式为an.(3)因为2，1，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an.(4)先将原数列变形为1，2，_，4，所以应填3，数列的通项公式为ann.10数列an中，a1a，an1，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式解：a1a，an1，a2，a3，同理：a4，观察规律：an.层级二应试能力达标1已知数列an的通项公式an，则anan1an2等于()A.B.C. D.解析：选Banan1an2.故选B.2数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n1(nN*)Ban(1)n1(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)解析：选DA项中a1，B项中a1，C项中a1，D项中a11，因此首先排除A、B、C，故选D.3图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为()A3n1 B3nC3n1 D3(n1)解析：选C通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有43根；第3个图形中，火柴棒有433432根；第4个图形中，火柴棒有4333433根；第5个图形中，火柴棒有43333434根，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2a13，a3a23，a4a33，a5a43，anan13(n2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an43(n1)3n1(根)4已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选Aan1，当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列5数列1,121,12321,1234321，其通项公式为_解析：112，121422，12321932，12343211642， 观察归纳出通项公式为ann2.答案：ann26如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为an_.解析：因为OA11，OA2，OA3，OAn，所以a11，a2，a3，an.答案：7已知数列an的通项公式为anpnq(p，qR)，且a1，a2.(1)求an的通项公式；(2)是an中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)anpnq，又a1，a2，解得因此an的通项公式是ann1.(2)令an，即n1，所以n，解得n8.故是an中的第8项(3)由于ann1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故an是递减数列8已知数列.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由解：(1)设anf(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)令，得9n300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项(3)证明：an1，又nN*，011，0an1.数列中的各项都在区间(0,1)内(4)令an，当且仅当n2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2.第二课时数列的通项公式与递推公式预习课本P3031，思考并完成以下问题 (1)什么叫数列的递推公式？(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？ 数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式点睛(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()解析：(1)正确只需将项数n代入即可求得任意项(2)正确对于无穷递增数列，是不存在最大项的(3)正确递推公式也是给出数列的一种重要方法(4)错误不是所有的数列都有递推公式例如精确到1,0.1,0.01,0.001，的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，就没有递推公式答案：(1)(2)(3)(4)2符合递推关系式anan1的数列是()A1,2,3,4，B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：选BB中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1.3数列an中，an1an2an，a12，a25，则a5()A3 B11C5 D19解析：选D由an1an2an，得an2anan1，则a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.4已知数列an中，a1，an11(n2)，则a16_.解析：a211，a312，a41，此数列为3的周期数列，a1a16.答案：由递推公式求数列的项典例数列an中，a11，a23，aanan2(1)n，求an的前5项解由aanan2(1)n，得an2，又a11，a23，a310，a433，a5109.数列an的前5项为1,3,10,33,109.由递推公式求数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式活学活用已知数列an满足an1若a1，则a2 017_.解析：计算得a22a11，a32a21，a42a3.故数列an是以3为周期的周期数列，又因为2 01767231，所以a2 017a1.答案：由递推公式求通项公式题点一：累加法求通项公式1已知数列an满足a11，an1an，nN*，求数列的通项公式an.解：an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1；以上各式累加得，ana11.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an.题点二：累乘法求通项公式2设数列an中，a11，anan1(n2)，求数列的通项公式an.解：a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式 数列的最大、最小项问题典例已知数列an的通项公式是ann，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解法一：an1an(n2)n1(n1)n，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.法二：根据题意，令(n1)即(n1)解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2，n这一条件(2)可以利用不等式组(n1)找到数列的最大项；利用不等式组(n1)找到数列的最小项活学活用定义：F(x，y)yx(x0，y0)，已知数列an满足：an(nN*)，若对任意正整数n，都有anak(kN*)成立，则ak的值为()A.B2C. D.解析：选C由题得an且ak(an)min，由指数函数y2x与二次函数yx2图象的对比可得an先减后增，故an有最小值，而a12a21a3a41，所以(an)mina3，则ak，故选C.层级一学业水平达标1已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A1B.C. D.解析：选B由a11，a2a11，依此类推a4.2在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()AR B(0，)C(，0) D(，0解析：选Can是递减数列，an1ank(n1)knk0.3数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A.B.C.D.解析：选C由题意a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.4已知数列an满足要求a11，an12an1，则a5等于()A15 B16C31 D32解析：选C数列an满足a11，an12an1，a22113，a32317，a427115，a5215131.5由1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bna，则b6的值是()A9 B17C33 D65解析：选Cbna，b2aa23，b3aa35，b4aa59，b5aa917，b6aa1733.6已知数列an满足a1，an1an，得an_.解析：由条件知，分别令n1,2,3，n1，代入上式得n1个等式，即.又a1，an.答案：7数列an的通项公式为ann26n，则它最小项的值是_解析：ann26n(n3)29，当n3时，an取得最小值9.答案：98已知数列an，anbnm(b0，nN*)，满足a12，a24，则a3_.解析：an(1)n3，a3(1)332.答案：29根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式(1)a10，an1an2n1(nN*)；(2)a11，an1an(nN*)；(3)a12，a23，an23an12an(nN*)解：(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2.(2)a11，a2，a3，a4.猜想an.(3)a12，a23，a35，a49.猜想an2n11.10已知数列an中，a11，当nN且n2时，(2n1)an(2n3)an1，求通项公式an.解：当n2，(2n1)an(2n3)an1，.，an，当n1时符合上式，an，nN*.层级二应试能力达标1若数列an满足an1(nN*)，且a11，则a17()A13B14C15 D16解析：选A由an1an1an，a17a1(a2a1)(a3a2)(a17a16)11613，故选A.2在数列an中，a12，an1anlg，则an()A2lg n B2(n1)lg nC2nlg n D1nlg n解析：选A由an1anlgan1anlg，那么ana1(a2a1)(anan1)2lg 2lg lg lg 2lg22lg n.3已知数列an，an2n2n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是()A(，3 B(，4C(，5) D(，6)解析：选D依题意，an1an2(2n1)0，即2(2n1)对任意的nN*恒成立注意到当nN*时，2(2n1)的最小值是6，因此6，即的取值范围是(，6)4已知函数f(x)若数列an满足a1，an1f(an)，nN*，则a2 015a2 016等于()A4 B1C. D.解析：选Ba2f1；a3f1；a4f；a5f21；a6f21；即从a3开始数列an是以3为周期的周期数列a2 015a2 016a5a31.故选B.5若数列an满足(n1)an(n1)an1，且a11，则a100_.解析：由(n1)an(n1)an1，则a100a115 050.答案：5 0506已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_解析：若a5为奇数，则3a511，a50(舍去)若a5为偶数，则1，a52.若a4为奇数，则3a412，a4(舍去)若a4为偶数，则2，a44.若a3为奇数，则3a314，a31，则a22，a14.若a3为偶数，则4，a38.若a2为奇数，则3a218，a2(舍去)若a2为偶数，则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.若a1为偶数，则16，a132.答案：4,5,327已知数列an的通项公式为an(nN*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由解：存在最大项理由：a1，a21，a3，a41，a5，.当n3时，21，an1an，即n3时，an是递减数列又a1a3，a2a3，ana3.当n3时，a3为这个数列的最大项8已知数列an满足a1，anan1an1an(n2)，求数列an的通项公式解：anan1an1an，1.211n1.n1，an(n2)又n1时，a1，符合上式，an.
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