2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式学案（含解析）新人教B版选修2-1.docx

1.3.2命题的四种形式学习目标1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价1有的命题没有逆命题()2两个互逆命题的真假性相同()3对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有()4一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数()题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)正数的平方根不等于0；(2)当x2时，x2x60；(3)对顶角相等解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数(2)原命题：若x2，则x2x60.逆命题：若x2x60，则x2.否命题：若x2，则x2x60.逆否命题：若x2x60，则x2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形解(1)逆命题：若ac2bc2，则ab.真命题否命题：若ab，则ac2bc2.真命题逆否命题：若ac2bc2，则ab.假命题(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补真命题否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形真命题逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补真命题反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题的真假性相同在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练2下列命题中为真命题的是()“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“正三角形都相似”的逆命题；“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题；“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题ABCD答案B解析原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”故为真命题原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”故为假命题原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”方程无实根，判别式14m0，m0.故为真命题原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”x不是无理数，x是有理数又是无理数，x是无理数，不是有理数故为真命题故正确的命题为，故选B.题型三等价命题的应用例3证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)y，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题答案A解析对A，即判断：若x|y|，则xy的真假，显然是真命题4在原命题“若ABB，则ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_答案4解析逆命题为“若ABA，则ABB”；否命题为“若ABB，则ABA”；逆否命题为“若ABA，则ABB”，全为真命题5已知命题p：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0无解”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假解(1)命题p的否命题为：“若ac0有解”(2)命题p的否命题是真命题判断如下：因为ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有实根ax2bxc0有解，所以该命题是真命题写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可一、选择题1“如果xy，则x2y2”的逆否命题是()A如果xy，则x2y2B如果xy，则x2y2C如果x2y2，则xyD如果xy，则x23，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A1B2C3D4答案B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a6，则a3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题3“ABC中，若C90，则A，B全是锐角”的否命题为()AABC中，若C90，则A，B全不是锐角BABC中，若C90，则A，B不全是锐角CABC中，若C90，则A，B中必有一钝角D以上都不对答案B解析若C90，则A，B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A互逆命题B互否命题C互为逆否命题D以上都不正确答案A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”故q与r为互逆命题5有下列四个命题：“如果xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“如果q1，则x22xq0有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题其中真命题的序号为()ABCD答案C解析命题：“如果x，y互为相反数，则xy0”是真命题；命题：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题是假命题；命题：“如果x22xq0有实根，则q1”是真命题；命题是假命题6原命题为“若an，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、真、真B假、假、真C真、真、假D假、假、假答案A解析从原命题、逆命题的真假入手，anan1anan为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题7设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题为真命题，逆命题为假命题B原命题为假命题，逆命题为真命题C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题答案A解析逆否命题：若a，b都小于1，则ab2，是真命题，所以原命题是真命题逆命题：若a，b中至少有一个不小于1，则ab2.例如，a3，b3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但ab0，故逆命题是假命题故选A.8关于命题“若拋物线yax2bxc开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是()A都是真命题B都是假命题C否命题是真命题D逆否命题是真命题答案D解析原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题逆命题“若x|ax2bxc0D/，则拋物线yax2bxc开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.二、填空题9下列命题：“如果xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“如果ac2bc2，则ab”的逆命题其中真命题是_(填序号)答案解析“如果xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“如果ac2bc2，则ab”的逆命题是“如果ab，则ac2bc2”，是假命题所以真命题是.10已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_答案1,2解析由已知得，若1x2成立，则m1x0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真14已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()M中的元素都不是P的元素；M中有不属于P的元素；M中有属于P的元素；M中的元素不都是P的元素A1B2C3D4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案B解析由于“MP”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，正确M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故错误故选B.15已知条件p：|5x1|a0，其中a为实数，条件q：0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解由|5x1|a0，得5x1a或5x1a，即x或x.由0，得2x23x10，解得x或x1.为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需AB.令a4，得p：x或x1，满足题意，故可以选取a4，此时原命题是“若|5x1|4，则0”