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专题突破一离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1(1)已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_答案2或解析方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示，所以双曲线的一条渐近线的斜率k或k，即或.又b2c2a2，所以3或，所以e24或，所以e2或.同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有或，所以或，亦可得到e或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.方法二根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，则离心率e或2；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，则离心率e2或.综上可得，双曲线的离心率为2或.(2)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案2，)解析由题意知，即23，e2，故离心率e的取值范围是2，)点评(1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助进行互求一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论(2)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e得到离心率的取值范围跟踪训练1中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A.B.C.D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为yx，24，a2b.方法一设bk(k0)，则a2k，ck，e.方法二e211，故e.二、以焦点三角形为指向求离心率例2如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_思维切入连接AF1，在F1AF2中利用双曲线的定义可求解考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案1解析方法一如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130.易知AF1F2为直角三角形，则|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e1.方法二如图，连接AF1，易得F1AF290，F1F2A30，F2F1A60，于是离心率e1.点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案A解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|，|F1F2|PF2|.由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即a，2c|F1F2|PF2|，即c，则e.三、寻求齐次方程求离心率例3已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_思维切入通过2|AB|3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2c2a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案2解析如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)点评求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2(或a2c2b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解跟踪训练3已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c的齐次关系式得离心率答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为0eb0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_思维切入设P点坐标，通过c2及椭圆方程得到x2的值，由x20，a2，求得a2的范围进而求得e的取值范围考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入上式，解得x2.又x20，a2，2c2a23c2，e.点评一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围(1)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac(2)双曲线的焦半径点P与焦点F同侧时，其取值范围为ca，)；点P与焦点F异侧时，其取值范围为ca，)跟踪训练4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C2D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案B解析P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|aca，ac，又e1，10，b0)的离心率为，那么双曲线1的离心率为()A.B.C.D2考点题点答案A解析由已知椭圆的离心率为，得，a24b2.e2，双曲线的离心率e.2已知双曲线1(a0，b0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，其离心率e的取值范围为()A，) B，)C(1， D(1，考点题点答案D解析依题意，点(a,0)到渐近线bxay0的距离不大于a，a，解得e.又e1，1b0)与曲线x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.考点题点答案D解析由题意知圆的半径是椭圆的焦距，由圆在椭圆内部，得bc，即b2c2，a22c2，故0e0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_考点题点答案解析根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则解得又|F1F2|2c，|PF2|最小在PF1F2中，由余弦定理，得cos30，2ac3a2c2.等式两边同除以a2，得e22e30，解得e.一、选择题1已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为()A2B.C3D4考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案A解析根据点(2,3)在双曲线上，得1，考虑到焦距为4，则2c4，即c2.联立及a2b2c2，解得a1，b，所以离心率e2.2(2018江西赣州高二检测)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.考点题点答案B解析双曲线1的一条渐近线为yx，由题意知，e.3若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)考点题点答案C解析e，a1，e(1，)4椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1MF2，则椭圆的离心率为()A.B.1C23D2考点题点答案B解析由题意知，在RtMF1F2中，|F1F2|2c，F1F2M60，|MF2|c，|MF1|2cc，|MF1|MF2|cc2a，e1.5过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于点E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为()A2B.C3D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析取右焦点F(c,0)，渐近线方程为yx，FMOM，可得直线FM的方程为y(xc)，令x0，解得y，E，线段FE的中点M，又中点M在渐近线yx上，解得ab，双曲线的离心率e.6已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42B21C.D.1考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|PF1|2a，因为MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1.7已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B.C.D.考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案C解析0，点M在以F1F2为直径的圆上，又点M总在椭圆的内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即.又0e1，0e.8(2018湖北黄冈高二检测)已知直线m：ykx1过椭圆1(0b0，b0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为_考点题点答案解析设F为右焦点，其坐标为(c,0)，令xc，代入yx，可得y，SOABbc，c，则e.10设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为_考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e.11过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_考点题点答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，M是AB中点，1，1，直线AB的方程是y(x1)1，y1y2(x1x2)，可得0，即0，ab，则ca，e.12(2018广东深圳高二期中)椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是_考点题点答案解析由题意可知F1(c,0)，F2(c,0)，设P(x，y)由1，得x2，(cx，y)，(cx，y)，x2c2y2c2y2a2c2，当y0时，取得最大值a2c2，即c2a2c23c2，ca2c，则e.三、解答题13双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围考点题点解由题意，知直线l的方程为1，即bxayab0.因为点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2，所以sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250，解得e25.因为e1，所以e的取值范围是.14我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.B.C.D.考点题点答案A解析设|F1F2|2c，|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，e1，e2.在PF1F2中，由余弦定理，得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以16c2(|PF1|PF2|)23(|PF1|PF2|)24a12a，即43ee或e1(舍去)e1.15已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e时，求椭圆长轴长的最大值考点题点解(1)e，2c2，a，则b，椭圆的方程为1.将yx1代入椭圆的方程，消去y得5x26x30，其中0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，0，即x1x2y1y20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得a2b21.又x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.由x1x2y1y20，得2x1x2(x1x2)10.10，整理得a2b22a2b20.b2a2c2a2a2e2，代入上式得2a21，a2.e，e2，1e2，2，13，a2，符合条件a2b21，由此得a，2a.故椭圆长轴长的最大值为.
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