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第8讲直线与圆高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：圆的方程2018全国卷T20；2017全国卷T201.高考中对此部分内部的考查以“一小”或“一大”的形式呈现.2.重点考查直线与圆的位置关系，圆的方程常与圆锥曲线交汇命题.题型2：直线与圆、圆与圆的位置关系2018全国卷T15；2018全国卷T8；2017全国卷T112016全国卷T15；2016全国卷T6；2016全国卷T152015全国卷T20；2014全国卷T20；2014全国卷T12题型1圆的方程核心知识储备1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆高考考法示例【例1】(1)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()A(，2)B.C(2,0) D.(2)(2018厦门模拟)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|2，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24(3)(2018黄山模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成的两段弧长之比为12，则圆C的方程为_(1)D(2)A(3)x22(1)方程可化为2(ya)21a，由题意知1a0，解得2a，故选D.(2)由题意得，圆C的半径为，圆心坐标为(1，)，圆C的标准方程为(x1)2(y)22，故选A.(3)因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上， 可设C(0，b)，设圆C的半径为r, 则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解得所以圆C的方程为x2.方法归纳求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数对点即时训练1(2018青岛模拟)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22D由题意知，曲线为(x6)2(y6)218，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆的圆心必在直线yx上，又(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x2)2(y2)22.2一束光线从圆C的圆心C(1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x2)2(y3)21上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225A圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r11.点C(1,1)关于x轴的对称点C的坐标为(1，1)因为C在反射线上，所以最短路程为|CC1|r1，即14.故圆C的半径为r42，所以圆C的方程为(x1)2(y1)24，故选A.题型2直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识储备1直线和圆的位置关系的判断方法直线l：AxByC0(A2B20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系如表方法位置关系几何法：根据d与r的大小关系代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号判断相交dr0相切dr0相离dr02弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|2(其中d为弦心距)(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|(其中C为圆心)3圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|d，则(1)dr1r2两圆外离4条公切线；(2)dr1r2两圆外切3条公切线；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交2条公切线；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切1条公切线；(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含无公切线高考考法示例【例2】(2016全国卷)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.思路点拨法一：法二：4法一：作出平面图形，利用数形结合求解如图所示，直线AB的方程为xy60，kAB，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.法二：圆心O(0,0)到直线xy60的距离为d3，|AB|22.如图所示，过点C作CEBD于点E.直线l的斜率为，ECD30，|CD|4.(2)(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.求l的方程；求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程思路点拨解由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.由得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.方法归纳1解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的指导思想讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量2求圆中有关距离的常用方法圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题(教师备选)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线xy40截得的弦长为2.(1)求圆O的方程；(2)若斜率为2的直线l与圆O相交于A，B两点，且点D(1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线l在y轴上的截距的取值范围解(1)设x2y2r2，圆心(0,0)到直线xy40的距离d2，又因为截得的弦长为2，所以r，圆O的方程为x2y27.(2)设斜率为2的直线l的方程为y2xb，与圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得5x24bxb270，则已知点D(1,0)在以AB为直径的圆的内部，所以0，即(x11，y1)(x21，y2)5x1x2(2b1)(x1x2)b2160，解得3b5，满足0.所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(3,5)对点即时训练1(2018福州模拟)直线xya与圆x2y2a2(a1)2相交于点A，B，点O是坐标原点，若AOB是正三角形，则实数a的值为()A1B1C.DC由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径，圆的圆心坐标O(0,0)，设圆半径为r，圆心到直线的距离为d，则d，由条件得2r，整理得4d23r2.所以6a23a23(a1)2，解得a.选C.2(2018徐州模拟)如图251，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线yx均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线yx均相切，切点分别为C，D.图251(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长解(1)由于圆M与BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则M在BOA的平分线上，同理，N也在BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为BOA的平分线，因为M(，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接AM，CN，如图所示，则RtOAMRtOCN，得，即，解得r3，OC3，所以圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，故弦长为2.1(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC. D2A将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解圆x2y22x8y130的标准方程为(x1)2(y4)24，由圆心到直线axy10的距离为1可知1，解得a，故选A.2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3A由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r，圆心到直线xy20的距离d2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3，最小距离是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故选A.3(2014全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是()A1,1 B.C， D.A如图，过点M作O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与O相切于点N.设OMN，则45，即sin ，即.而ON1，OM.M为(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范围为1,14(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_2y2由椭圆的标准方程可求出其四个顶点的坐标，由圆心在x轴的正半轴上知该圆过上、下顶点和右顶点由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.5(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.
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