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专题提能五 解析几何综合问题中优化运算的提能策略1若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点F分成了31的两段(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且2，当AOB的面积最大时，求直线l的方程解析：(1)由题意知，c3，所以bc，a22b2，所以e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xky1(k0)，因为2，所以(1x1，y1)2(x21，y2)，即y12y2，由(1)知，椭圆方程为x22y22b2.由消去x，得(k22)y22ky12b20，所以y1y2，由知，y2，y1，因为SAOB|y1|y2|，所以SAOB333，当且仅当|k|22，即k时取等号，此时直线l的方程为xy10或xy10.2(2018石家庄摸底)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解析：(1)设T(x，y)，由题意知A(4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1，k2.由k1k2，得，整理得1.故椭圆C的方程为1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20.当直线PQ的斜率不存在时，的值为20.综上，的取值范围为.3(2018浦东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解析：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)设直线AB的方程为yxt，代入1，得x2txt2120，由0，解得4t4，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2t，x1x2t212，|x1x2|.四边形APBQ的面积S6|x1x2|3.当t0时，S取得最大值，且Smax12.若APQBPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为y3k(x2)，由得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x12，将k换成k可得x22，x1x2，x1x2，kAB，直线AB的斜率为定值.4已知椭圆E：1(ab0)的离心率为方程2x23x10的解，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点证明：直线OD把DMN分为面积相等的两部分解析：(1)方程2x23x10的解为x1，x21，椭圆离心率e(0,1)，e，由题意得解得椭圆E的方程为1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点为P(x0，y0)，故2x0x1x2,2y0y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF，当n0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n0时，直线MN的斜率kMN，点M，N在椭圆E上，整理得0，又2x0x1x2,2y0y1y2，0，即，即直线OP的斜率为kOP，又直线OD的斜率为kOD，OD平分线段MN.综上，直线OD把DMN分为面积相等的两部分
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