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2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程xxyy顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p知识点二直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0，直线与抛物线有一个公共点；若0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点反思感悟直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2pp，不满足题意所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系得y1y2，y1y2p2.所以|AB|2pp，解得k2.所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.引申探究本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离解如图，过A，B分别作准线x的垂线交准线于C，D点由定义知|AC|BD|p，则梯形ABDC的中位线|ME|p，M点到y轴的距离为pp.反思感悟求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式|AB|x1x2|y1y2|.(2)焦点弦长设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1x2即可跟踪训练3已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题解由得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0，得m0)，由题意知p4，拋物线方程为y28x或y28x.3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B3C.D.答案A解析抛物线y22x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为.4过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.答案8解析易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.5已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案2解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为45的直线方程为yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.1抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化一、选择题1若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.答案B解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为.2已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()A2B1C.D.答案A解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.3若抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A4B5C6D7考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案A解析由题意，知抛物线y24x的准线方程为x1，抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，2)，点P到抛物线的准线的距离为314，点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.4抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为()A2B4C6D8答案D解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.5已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形()A不存在B必是锐角三角形C必是钝角三角形D必是直角三角形答案B解析设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形6等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.7已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值是()A2B3C4D0答案B解析因为点(x，y)在抛物线y24x上，所以x0，因为zx2y23x22x3(x1)22，所以当x0时，z最小，其最小值为3.8过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1等于()A45B90C60D120答案B解析如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，AA1FAFA1，又AA1FA1FO，AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.二、填空题9已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_答案y24x解析设抛物线方程为y2kx(k0)，与yx联立方程组，消去y，得x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2), x1x2k.又P(2,2)为AB的中点，2.k4.y24x.10已知抛物线y28x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|8，则实数a的取值范围是_答案(2，1解析将l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，则4(a4)24a20，a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(a4)，x1x2a2，|AB|8，即1.20)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.考点抛物线的简单几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案6解析抛物线的焦点坐标F，准线方程为y.代入1得.要使ABF为等边三角形，则tan，解得p236，又p0，所以p6.三、解答题12过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程解设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)点Q是弦AB的中点，y1y22，于是4，即直线AB的斜率为4，故弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.13已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x2y10所得的弦长为，求此抛物线的方程解设抛物线方程为x2ay(a0)，由方程组消去y，得2x2axa0.直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a8.设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|.|AB|，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线的方程为x24y或x212y.14已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q(5,0)关于直线l对称，则p等于()A.B1C2D3考点抛物线的简单几何性质题点焦点、准线、对称性的简单应用答案C解析由题意得，F，设P(x0，y0)，直线PQ的方程为y(x5)，由得3(x05)22px0，又|FP|FQ|，即x0，由解得(舍去)或综上，p2.15已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py (p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知直线l的方程为x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0，得y11，y24，p2，故抛物线G的方程为x24y.(2)易知，直线l的斜率必存在设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0，得k0或k4.故b的取值范围是(2，)
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