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1.1.1四种命题学习目标1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一命题的概念思考给出下列语句：(1)若直线ab，则直线a和直线b无公共点；(2)367；(3)偶函数的图象关于y轴对称；(4)5能被4整除.请你找出上述语句的共同特点.答案上述语句能够判断真假.梳理(1)定义：能够判断真假的语句.(2)分类真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.(3)形式：若p则q.知识点二四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x2时，x23x20；(2)若x23x20，则x2；(3)若x2，则x23x20；(4)若x23x20，则x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件.命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.知识点三四种命题的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？答案逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.梳理(1)四种命题之间的关系如下所示：(2)四种命题的真假关系如果两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性；如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性没有关系.1.疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.()2.有的命题没有否命题.()3.两个互逆命题的真假性相同.()4.对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有.()类型一命题及其真假的判定例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.(1)奇数不能被2整除；(2)当(a1)2(b1)20时，ab1；(3)已知x，y为正整数，当yx1时，y3，x2.考点命题的概念题点命题真假性判断解(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题；(3)已知x，y为正整数，若yx1，则y3且x2，是假命题.反思与感悟(1)找准命题的条件和结论，是解决这类题目的关键，对于个别问题还要注意大前提的写法.(2)命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式发生了变化.(3)一个命题若是假命题，只需找到一个反例来说明即可.跟踪训练1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当acbc时，ab；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.考点命题的概念题点命题真假性判断解(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题.(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题.(3)若acbc，则ab，是假命题.(4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题.类型二四种命题及其相互关系例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若xA，则xAB；(2)若a，b都是偶数，则ab是偶数；(3)在ABC中，若ab，则AB.考点四种命题题点四种命题的理解解(1)逆命题：若xAB，则xA；否命题：若xA，则xAB；逆否命题：若xAB，则xA.(2)逆命题：若ab是偶数，则a，b都是偶数；否命题：若a，b不都是偶数，则ab不是偶数；逆否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数.(3)逆命题：在ABC中，若AB，则ab；否命题：在ABC中，若ab，则AB；逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练2分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若m0，则x2xm0有实数根；(2)三边对应相等的两个三角形全等.考点四种命题题点四种命题的理解解(1)逆命题：若x2xm0有实数根，则m0.否命题：若m0，则x2xm0没有实数根.逆否命题：若x2xm0没有实数根，则m0.(2)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.逆否命题：两个不全等三角形的三边不对应相等.例3下列命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题.其中是真命题的是_.(填序号)考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题.所以真命题是.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3下列命题中为真命题的是_.(填序号)“正三角形都相似”的逆命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆命题；“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.原命题的逆命题是“若x22xq0有实根，则q1”是真命题.原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”.x不是无理数，x是有理数.又是无理数，x是无理数，不是有理数，故为真命题.命题中为真命题的是.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假.考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用解方法一原命题的逆否命题为已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集.真假判断如下：因为yx2(2a1)xa22的图象开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70.即yx2(2a1)xa22的图象与x轴无交点.所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.方法二先判断原命题的真假.因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，a，所以a1成立，所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真.反思与感悟(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.跟踪训练4证明：若a24b22a10，则a2b1.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”.a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确.1.下列语句是命题的是_.若ab，则a2b2；a2b2；方程x2x10的近似根；方程x2x10有根吗？考点命题的概念及分类题点命题概念的理解答案解析无法判断真假；是疑问句，不是陈述句，不能判断真假.故不是命题.2.命题“若，则tan1”的逆否命题是_.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若tan1，则解析命题“若，则tan1”的条件是“”，结论是“tan1”，故其逆否命题是“若tan1，则”.3.(2018泰州中学月考)命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若ab，则2a2b1解析否定条件作为条件，同时否定结论作为结论，所以命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”.4.已知命题：“若x0，y0，则xy0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案2解析由题意可判断原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy0，则x0，y0”，为假命题，所以其否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.5.已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围为_.考点命题的概念及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案1,2解析“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2，则m1xm1”.逆命题为真命题，得1m2.1.根据命题的含义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.3.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.一、填空题1.已知命题r：若xa2b2，则x2ab，下列说法正确的是_.(填序号)命题r的逆命题：若xa2b2，则x2ab；命题r的逆命题：若x2ab，则xa2b2；命题r的否命题：若xa2b2，则x2ab；命题r的否命题：若xa2b2，则xb，则acbc；矩形的对角线互相垂直.其中真命题共有_个.考点命题的概念及分类题点命题真假性判断答案1解析由xy0，得到x0或y0，所以|x|y|0不正确，是假命题；当ab时，有acbc成立，正确，是真命题；矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题.4.证明“若x2y22，则xy2”时，可以转化为证明_.考点四种命题的相互关系题点逆否证法答案若xy2，则x2y22解析由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若xy2，则x2y22”.5.若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的_命题.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案逆否解析由四种命题的关系知，命题p与命题r互为逆否命题.6.“若x，y全为零，则xy0”的否命题为_.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若x，y不全为零，则xy0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy0”.7.给出下列命题：若直线l平面，直线m平面，则lm；若a，b都是正实数，则ab2；若x2x，则x1；函数yx3是指数函数.其中假命题的个数为_.考点命题的概念题点命题真假性判断答案3解析中，显然lm或l与m重合，所以是假命题；由均值不等式，知是真命题；中，由x2x，得x1，所以是假命题；中，函数yx3是幂函数，不是指数函数，是假命题.所以假命题的个数为3.8.已知不等式x30的解集是A，则使得aA是假命题的a的取值范围为_.考点命题的概念及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(，3)解析x30，Ax|x3.又aA是假命题，即aA，a3.9.下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形的对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆的内接四边形的对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案和，和和，和和，和解析命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.再依据四种命题间的关系，便不难判断.10.下列命题：命题“若b24acb0，则0”的逆否命题；“若m1，则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实根，是真命题；若ABC为等边三角形，则ABBCCA，是真命题；因为命题“若ab0，则0”是真命题，故其逆否命题为真命题；若mx22(m1)x(m3)0的解集为R，则m1，是假命题.所以应填.二、解答题11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.(1)若ab，则a2b2；(2)若|2x1|1，则x2x0.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假解(1)逆命题为：若a2b2，则ab，该命题是假命题.否命题为：若ab，则a2b2，该命题是假命题.逆否命题为：若a2b2，则ab，该命题是真命题.(2)逆命题为：若x2x0，则|2x1|1，这是真命题.否命题为：若|2x1|1，则x2x0，这是真命题.逆否命题为：若x2x0，则|2x1|0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”.方程的判别式为4b24(b2b)4b.因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真.13.给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为；命题乙：函数y(2a2a)x为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.考点命题的概念及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解(1)当甲为真时，(a1)24a2或a1，解得a1或a，即B.当甲、乙至少有一个为真命题时，a的取值范围是.(2)当甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，a1；当甲假乙真时，1a.所以当甲、乙中有且只有一个为真命题时，a的取值范围是.三、探究与拓展14.原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案3解析anan1anan为递减数列.原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题.15.命题：“若直线yax3与圆C：x2y22x80相交于A，B两点，且点P(x0，y0)在直线y2x上，则PAPB”的逆否命题是真命题，则x0的取值范围为_.考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案(1,0)(0,2)解析由题意可知，原命题是真命题.圆心C(1,0)到直线l：yax3的距离d0或a.由PAPB，CACB，得PCl，于是kPC，利用y02x0，可求出x0.于是得x0的取值范围是(1,0)(0,2).
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