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3.2.1常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数yC，ykxb，yx，yx2，y的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.知识点一幂函数与一次函数的导数思考1函数ykx(k0)增(减)的快慢与什么有关？答案当k0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)lnxf(x)f(x)x(为常数)f(x)x11.(ex)ex.()2.(lnx).()3.cos.()4.若f(x)，则f(x).()类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y2sincos；(5)y；(6)y3x.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用解(1)y(x12)12x12112x11.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()().(4)y2sincossinx，ycosx.(5)y().(6)y(3x)3xln3.反思与感悟若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)2x；(3)f(x)e2；(4)f(x)cosx.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用解(1)f(x)()；(2)f(x)xln2xln2；(3)f(x)(e2)0；(4)f(x)(cosx)sinx.类型二导数公式的综合应用例2已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解因为y(x2)2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k1，而切线与PQ垂直，所以2x01，即x0.所以切点为.所以所求切线方程为y(1)，即4x4y10.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则在点xx0处的导数为2x0，又因为PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，所以k2x01，即x0.所以切点为M.所以所求切线方程为yx，即4x4y10.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2已知两条曲线ysinx，ycosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1cosx0，k2sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2cosx0(sinx0)1，即sin2x02，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.例3求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解依题意知抛物线yx2与直线xy20平行的切线的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x).y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率ky2x0，k2x02，x01，y01.故可得M(1,1)，切线方程为2xy10.由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，AB为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故点M(1,1)即为所求弧上的点，使ABP的面积最大.1.设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案解析f(x)，则f(1)1，a.2.下列结论：(sinx)cosx；(log3x)；(lnx).其中正确的结论是_.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案解析由求导公式知，(sin x)cos x，(log3x)，(lnx)，故正确.3.在曲线y上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135，则点P的坐标为_.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数答案(2,1)解析y(4x2)8x3，设点P(x0，y0)，依题意，得8xtan1351，x02.又P(x0，y0)在曲线y上，y01.4.设正弦函数ysinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围为_.考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数答案解析(sinx)cosx，klcosx，1kl1，l.5.求下列函数的导数.(1)ycos；(2)y；(3)y；(4)ylgx；(5)y5x；(6)ycos.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用解(1)y0.(2)yx5，y(x5)5x6.(3)y，y().(4)y.(5)y5xln5.(6)ycossinx，y(sinx)cosx.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y12sin2的导数.因为y12sin2cosx，所以y(cosx)sinx.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、填空题1.已知f(x)sinx，则f_.考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数答案0解析f(x)cosx，f0.2.若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是_.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数答案1解析f(x0)3x3，x01.3.已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数答案4解析f(x)，f(2)，又g(x)m，g(2)m，由g(2)，得m4.4.曲线yf(x)lnx在xa处的切线倾斜角为，则a_.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案1解析y，f(a)1.a1.5.下列结论中正确的个数为_.f(x)ln2，则f(x)；f(x)，则f(3)；f(x)2x，则f(x)2xln2；f(x)log2x，则f(x).考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案3解析f(x)ln2为常数，所以f(x)0，错.均正确.6.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2；当y0时，x1.S1|e2|e2.7.过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为_.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数答案或解析y(x1)4，x2，x.切点坐标为或.8.已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为_.考点几个常用函数的导数题点指数函数的导数答案e解析yex，设切点为(x0，y0)，则x0，x01，ke.9.曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案log2e解析y，k，切线方程为y(x1)，三角形面积为S1log2e.10.已知f(x)cosx，g(x)x，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集为_.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案解析f(x)sinx，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sinx10，即sinx1，则sinx1，解得x2k，kZ，其解集为.二、解答题11.求下列函数的导数：(1)f(x)log2x2log2x；(2)f(x)2x；(3)f(x)2sin；(4)y(1).考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用解(1)f(x)log2x2log2x2log2xlog2xlog2x，f(x)(log2x).(2)f(x)2x2x2x，f(x)(x1)x2.(3)f(x)2sinsinx.f(x)(sinx)cosx.(4)f(x)(1)11f(x)().12.若曲线y在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解y，y，曲线在点(a，a)处的切线斜率ka，切线方程为y.令x0，得y；令y0，得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3a18，a64.13.已知曲线yf(x)5(x0)，求：(1)曲线上与直线y2x4平行的切线方程；(2)过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数解(1)设切点为(x0，y0)，由yf(x)5，得f(x0).因为切线与直线y2x4平行，所以2，解得x0，所以y0.故所求切线方程为y2，即16x8y250.(2)因为点P(0,5)不在曲线y5上，所以设切点坐标为M(x1，y1)，则切线斜率为(x10)，又因为切线斜率为，所以，解得x14(x10舍去).所以切点为M(4,10)，斜率为，故切线方程为y10(x4)，即5x4y200.三、探究与拓展14.已知函数f(x)1(a0)的图象在x1处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为_.考点几个常用函数的导数题点幂函数的导数答案1解析f(x)，f(1).又f(1)1，f(x)在x1处的切线l的方程是y1(x1).l与坐标轴围成的三角形的面积为S(22)1.故l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.15.点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离.考点几个常用函数的导数题点指数函数、对数函数的导数解如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近.则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.
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