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第2讲 圆锥曲线的综合问题A组小题提速练一、选择题1已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，)B(1，C(，) D，)解析：双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e.答案：C2(2018河南八市联考)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A. B3C. D2解析：抛物线的准线方程为x，依据抛物线的定义，得|QM|QF|xQ3|，选C.答案：C3已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m|PC|的最小值为()A5 B.C.2 D4解析：由题得，圆C的圆心坐标为(3，4)，抛物线的焦点为F(2,0)根据抛物线的定义，得m|PC|PF|PC|FC|.答案：B4若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.C2 D2解析：设椭圆C：1(ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S2cbbc1.所以a22.所以a.所以长轴长2a2，故选D.答案：D5以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案：B6(2018赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)解析：过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)答案：D7(2018湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析：联立消去y得x2x，由x01知1，即1，故e21，所以1eb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得(b2)x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，选择D.答案：D12若双曲线1(a0，b0)的离心率e，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，则该双曲线的方程为()A.y21 B.y21C.y21 D.1解析：由c，知，解得a2b，所以双曲线的方程为1，即为x24y24b2.设B(x，y)是双曲线上任意一点，故|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)2524b2，当y时，|AB|取得最小值 ，解得b1，所以该双曲线的方程为y21.答案：C二、填空题13若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知b2a2c23.椭圆方程为1或1.答案：1或114双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：215已知直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_解析：因为直线l与圆相切，所以1k2t22t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是由16k216t16(t22t)16t0，得t0或t0或t0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析：设直线方程为y(xc)，由，得x，由2a，e，解得e2(e2舍去)答案：2B组大题规范练1已知动点M到定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值解析：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆由c2，a2，得b2.故动点M的轨迹C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)0，则k0或kb0)的离心率为，左焦点为F(1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由解析：(1)由已知可得解得a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.设存在点E(0，m)，则(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使得t(t为常数)，只需t，从而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，从而t，故存在定点E，使恒为定值.3已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)由题意，得c1，所以a2b21.因为点P在椭圆C上，所以1，所以a24，b23.则椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40.因为48(4k21)0，所以k2，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20.所以x1x2(kx12)(kx22)0，即(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所以k2.综上可知k2，解得k或k0恒成立x1,2，x1x2，x1x2.要使OAOB，必须使0，即x1x2y1y20，也就是k2(x11)(x21)0.整理得：(1k2)k2k20.解得k1，所以直线l的方程为yx1.故存在直线x1和yx1，它们与圆C交于A，B两点，使得在平行四边形OASB中|.
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