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热学经典例题已知金刚石的密度为3.5103kg/m3，碳的摩尔质量为12g/mol，阿伏加德罗常数NA=6.01023mol-1，假设金刚石中碳原子是紧密地排列在一起的一个个小球，请估算金刚石中碳原子的直径为多大？（结果保留1位有效数字）分析与解答：每个碳原子的体积V0=43(d2)3=MNA,代入数据解得d=36MNA210-10m.变式1已知金刚石的密度为3.5103 kg/m3，现有一块体积为4.0108m3的一小块金刚石，它含有多少个碳原子？假如金刚石中的碳原子是紧密地挨在一起，试估算碳原子的直径？(保留两位有效数字)分析与解答：这块金刚石的质量：m=V=3.51034.010-8kg=1.410-4kg 这块金刚石的物质的量n=mM=VM=1.410-41210-3mol=1.1710-2mol这块金刚石所含的碳原子数n=nNA=1.1710-26.021023个=7.01021个一个碳原子的体积为V0=Vn=4.010-87.01021m3=5.710-30m3把金刚石中的碳原子看成球体，则由公式V0=6d3可得碳原子直径为d=336V0=365.710-303.14m=2.210-10m变式2在标准状况下，有体积为V的水和体积为V的氧气(可视为理想气体)，已知水的密度为，阿伏加德罗常数为NA，水的摩尔质量为M，在标准状况下lmol氧气的体积为Vo。求：(1)水和氧气中各有多少个分子；(2)水分子的直径和氧气中相邻两个分子之间的平均距离。分析与解答：(1)体积为V的水中水分子数N1=VMNA体积为V的氧气中氧分子数N2=VV0NA(2)设水分子的直径d，则N143（d2）3=V，整理得d=36MNA设氧分子间的距离L，则N2L3=V，整理得L=3V0NA变式3某同学在进行“用油膜法估测分子的大小”的实验前，网上查阅数据得知：油酸的摩尔质量M=0.283kmol-1，密度=0.89510kg/m，若每100ml，油酸酒精密液中含有纯油酸1 mL，用滴管向量简内滴100滴上述溶液，量简中的溶液体积增加1 ml.已知球的体积V与直径D的关系为V=16D3，取NA=6.02 1013mol-1.求：(1)一个油酸分子的体积约为多少m？(2)一滴上述油酸酒精溶液所能形成的单分子油膜的面积约是多少m？(结果均保留一位有效数字)分析与解答：(1)一个油酸分子的体积V=MNA将数值代入式解得V=510-28m3(2)由球的体积与直径的关系V=16D3得分子直径D=36V一滴油酸酒精溶液中含有纯油酸体积为V0=1100110010-6m3故一滴油酸酒精溶液所能形成的单分子油膜的面积为S=V0D由解得S=0.1m2变式4 2017年5月，中国首次海域天然气水合物(可燃冰)试采成功。可燃冰是一种晶体，它是天然气的固体状态(因海底高压)，学名天然气水化合物，其化学式为CH48H2O.研究表明1m3可燃冰可转化为164m3的天然气(CH4)和0.8m3的水(已转化为标准状态)。(1)下列关于晶体和非晶体的说法中正确的是_。(A)晶体有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点(B)晶体都有确定的几何形状，非晶体没有确定的几何形状(C)制作晶体管、集成电路多用多晶体(D)云母片导热性能各向异性，说明云母片是晶体(2)体积VA=1L的CH4气体(可视为理想气体)处于状态A时温度TA=300K，压强pA=1atm，现保持其质量不变让它经过状态B到达状态C，已知状态B时的温度TB=600K，到达状态C时体积VC=0.5L.则此时该气体的压强pC=_atm.如果该气体从状态A到状态B的过程中吸收热量为Q1，从状态B到状态C的过程中放出热量为Q2，则从状态A到状态C气体内能增加量E_(填“”或“=”)Q1-Q2。(3)已知阿伏加德罗常数NA=61023个/mol，试估算出1m3可燃冰中所含CH4分子的个数。(结果保留一位有效数字) _。分析与解答：（1）晶体有确定的熔点、非晶体没有确定的熔点，A正确；单晶体具有规则的几何形状，而多晶体和非晶态没有规则的几何形状，B错误；制作晶体管、集成电路多用半导体，C错误；多晶体与非晶体具有各向同性，单晶体具有各向异性，云母片导热性能各向异性，说明云母片是晶体，D正确（2）已知：VA=1L，TA=300K，pA=1atm，TC=TB=600K，VC=0.5L；由理想气体的状态方程可得PAVATA=PCVCTC，代入数据可得PC=4atm；AB过程为等容变化。BC过程为等温压缩过程，根据热力学第一定律可知，整个的过程中内能的增加量大于吸收的热量；（3）由题意可知，1m3可燃冰可转化为164m3的标准状态下的天然气（CH4），标准状态下气体的摩尔体积为22.4L=0.0224m3，所以1m3可燃冰含有的气体的物质的量：n=VVm=1640.02247.3103mol，所含CH4分子的个数：N=nNA，代入数据可得：N=41027（个）经典例题如图所示，薄壁气缸放置在水平平台上，活塞质量为10kg，横截面积为50cm2，厚度为1cm，气缸全长21cm，气缸质量为20kg，大气压强为1105Pa，温度为7，活塞封闭的气柱长10cm，若将气缸倒过来放置，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通g取10cm/s2（1）求气缸倒置时，活塞封闭的气柱长度；（2）气缸倒置后，当温度多高时，活塞刚好接触平台分析与解答：开始封闭气体的压强：p1=p0+mgS=1105+10105010-4 =1.2105Pa，气缸倒过来后，气体的压强：p2=p0mgS=110510105010-4=0.8105Pa，气体发生等温变化，由玻意耳定律得：p1L1S=p2L2S，解得：L2=15cm；开始气体体积：V2=L2S=15S，温度：T2=237+7=280K，活塞刚好接触平台时，气体体积：V3=L3S=（211）S=20S，气体发生等压变化，由盖吕萨克定律得：V2T2=V3T3，解得：T3=373K；变式1如图，容积均为V的汽缸A、B下端有细管(容积可忽略)连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3；B中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略)初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1.已知室温为27 ，汽缸导热(1)打开K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强；(2)接着打开K3，求稳定时活塞的位置；(3)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20 ，求此时活塞下方气体的压强分析与解答：(1)设打开K2后，稳定时活塞上方气体的压强为p1，体积为V1.依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程由玻意耳定律得p0Vp1V1(3p0)Vp1(2VV1)联立式得V1V2p12p0(2)打开K3后，由式知，活塞必定上升设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2(V22V)时，活塞下气体压强为p2，由玻意耳定律得(3p0)Vp2V2由式得p23VV2p0由式知，打开K3后活塞上升直到B的顶部为止；此时p2为p232p0(3)设加热后活塞下方气体的压强为p3，气体温度从T1300 K升高到T2320 K的等容过程中，由查理定律得P2T1=P3T将有关数据代入式得p31.6p0变式2如图，一粗细均匀的等臂U形管竖直放置，其A端封闭有一定量的气体，B端开口与大气相通，两侧被水银柱隔开。平衡时测得A内气柱的长度为30.0cm、两管内水银面的高度差为h100cm。现从B端开口处用活塞缓慢向下压气体，当活塞压下12512cm时，A、B两端水银面相平。已知活塞与管密封良好，设整个过程温度保持不变。求大气压强的值。分析与解答：设大气压强为p0，水银的密度为，U型管的横截面积为S，对气体A，初始时：pA=p0+gh VA=LS再次平衡后，设A气体的压强为pA；VA=(LA-h2)S此过程等温：pAVA=pAVA对于气体B，初始时：pB=p0，VB=(LA-h)S再次平衡后，设B气体的压强为pB：pB=pA；VB=(LA-h2-H)S此过程中等温：pBVB=pBVB，解得p0=70cmHg变式3 图中竖直圆筒是固定不动的,粗筒横截面积是细筒的4倍,细筒足够长.在粗筒中用轻质活塞密闭了一定质量的理想气体，活塞与筒壁间的摩擦不计。在6时，活塞上方的水银深H=10cm,水银上表面与粗筒上端的距离y=5cm,气柱长L=15cm。不计活塞的质量和厚度，已知大气压强P0=75cmHg,现对气体缓慢加热。（1）当水银上表面与粗筒上端相平时，求气体的温度T2（2）当水银的一半被推入细筒中时，求气体的温度T3（结果保留3位有效数字）分析与解答：（1）该过程中气体压强不变，根据盖吕萨克定律可得：V1T1=V2T2，其中T1=279K，V1=LS，V2=L+yS，得：T2=372K；（2）气体初始状态：p1=p0+pH=85cmHg，当水银的一半被推入细筒中时：p3=p0+pH+ph=100cmHg；根据理想气体的状态方程可得：P1V1T1=P3V3T3，其中：V3=(L+y+H2)S解得：T3=547K变式4如图所示，一竖直放置的足够长汽缸内有两个活塞用一根轻质硬杆相连，上面小活塞面积S1=2 cm2，下面大活塞面积S2=8 cm2，两活塞的总质量为M=0.3 kg;汽缸内封闭温度T1=300K的理想气体，粗细两部分长度相等且L=5 cm；大气压强为Po=1.01l05Po，g=10ms2，整个系统处于平衡，活塞与缸壁间无摩擦且不漏气。求：(1)初状态封闭气体的压强Pi；(2)若封闭气体的温度缓慢升高到T2 =336 K，气体的体积V2是多少；(3)上述过程中封闭气体对外界做功W。分析与解答：（1）平衡条件Mg+p0S1+p1S2=p1S1+p0S2代入数据得p1=9.6104Pa（2）初态体积V1=S1L+S2L=50cm3等压膨胀，根据盖吕萨克定律V1T1=V2T2代入数据得V2=56cm3（3）封闭气体对外界做功W=FL=p1V=p1(V2-V1)=0.576J经典例题一定质量的理想气体，状态从ABCDA的变化过程可用如图所示的pV图线描述，其中DA为等温线，气体在状态A时温度为TA=300K，试求：（1）气体在状态C时的温度TC，（2）若气体在AB过程中吸热1000J，则在AB过程中气体内能增加了多少？分析与解答：DA为等温线，则TA=TD=300K，C到D过程由盖吕萨克定律得：VCTC=VDTD得到：TC=VCTDVD=375K；A到B过程压强不变，体积变大气体对外做功由W=PV=2105310-3J=600J由热力学第一定律U=Q+W=1000J-600J=400J，则气体内能增加，增加400J。变式1 如图所示，一个绝热的气缸竖直放置，内有一个绝热且光滑的活塞，中间有一个固定的导热性良好的隔板，隔板将气缸分成两部分，分别密封着两部分理想气体A和B。活塞的质量为m，横截面积为S，与隔板相距h。现通过电热丝缓慢加热气体，当A气体吸收热量Q时，活塞上升了h，此时气体的温度为T1。已知大气压强为P0，重力加速度为g。（1）加热过程中，若A气体内能增加了E1，求B气体内能增加量E2（2）现停止对气体加热，同时在活塞上缓慢添加砂粒，当活塞恰好回到原来的位置时A气体的温度为T2。求此时添加砂粒的总质量m。分析与解答：气体对外做功B气体对外做功：W=pSh=p0S+mgh，由热力学第一定律得：E1+E2=Q-W，解得：E2=Q-mg+p0Sh-E1，B气体的初状态：p1=p0+mgS，V1=hS，T1，B气体末状态：p2=p0+(m+m)gS，V2=hS，T2，由理想气体状态方程得P1V1T1=P2V2T2，解得：m=2T2T1-1Sp0g+m；变式2 如图所示为一定质量的理想气体经历从状态ABCA的pV图象，已知该气体在状态A时的温度为300 K，求：（1）气体在状态B、C时的温度分别为多少摄氏度？（2）气体从状态A沿图中实线到状态B、再到状态C，整个过程气体是吸热还是放热，传递的热量为多少？分析与解答：气体从状态A变化到状态B发生等压变化，根据盖-吕萨克定律有VATA=VBTB；代入数据有110-3300=310-3TB，解得TB=900K，tB=900-273=627；气体从状态B到状态C发生等容变化，根据查理定律有：pBTB=pCTC；代入数据有3105900=1105TC，解得TC=300K，tC=300-273=27；（2）气体从状态A沿图中实线到状态B等压膨胀，外界对气体做功为：W1=pV=-3105(310-3-110-3)=-600J；气体从状态B到状态C等容变化，界对气体做功为：W2=0；外界对气体做功为W=W1+W2=-600J，状态AC温度相同U=0；根据热力学第一定律有U=W+Q，解得Q=600J变式3 如图所示，一圆柱形绝热气缸竖直放置，通过绝热活塞封闭着一定质量的理想气体活塞的质量为m，横截面积为S，与容器底部相距h，此时封闭气体的温度为T1现通过电热丝缓慢加热气体，当气体吸收热量Q时，气体温度上升到T2已知大气压强为p0，重力加速度为g，T1和T2均为热力学温度，不计活塞与气缸的摩擦。求：（1）活塞上升的高度；（2）加热过程中气体的内能增加量分析与解答：气体发生等压变化，有hST1=(h+h)ST2，解得h=T2-T1T1h；加热过程中气体对外做功为W=pSh=p0S+mgT2-T1T1h；由热力学第一定律知内能的增加量为U=Q-W=Q-p0S+mgT2-T1T1h变式4一定质量的理想气体，在初始状态A时，体积为V0，压强为p0，温度为T0，已知此时气体的内能为U0。该理想气体从状态A经由一系列变化，最终还回到原来状态A，其变化过程的pV图象如图所示，其中AB是反比例函数图象的一部分。求：（1）气体在状态B时的体积；（2）气体在状态C时的温度；（3）从状态B经由状态C，最终回到状态A的过程中，气体与外界交换的热量。分析与解答：由题意可知，从状态A到状态B为等温变化过程，状态B时气体压强为P1=3P0,设体积为V1,由玻意耳定律得P0V0=P1V1解得由题图可知，从状态B到状态C为等压变化过程，状态C时气体体积为V2=V0,设温度为T2,由盖-吕萨克定律得解得T2=3T0由于一定质量的理想气体的内能只和温度有关，所以UB=UA=U0在BCA的过程中U=W+QUA-UB=0=-3P0（V0-VB）+QQ=2P0V0即气体从外界吸收热量为2P0V0变式5如图所示，竖直放置的U形管，左端封闭右端开口，管内水银将长19cm的空气柱封在左管内，此时两管内水银面的高度差为4cm，大气压强为标准大气压75mmHg。现向右管内再注入水银，使空气柱长度减少1cm，若温度保持不变，则需注入水银柱的长度为多少？分析与解答：设管的面积为S，开始时空气柱长度为l1=19cm，压强为P1=75cmHg-4cmHg=71cmHg，后来空气柱长度为l2=19cm-1cm=18cm，压强为P2，由等温变化可知，P1Sl1=P2Sl2即7119S=P218S解得：P2=74.9cmHg即左、右两管的高度差应为0.1cm，所以注入的水银长度应为（5-0.1）cm=4.9cm。变式6 如图所示，气缸放置在水平平台上；活塞质量为m=8kg，横截面积为S=40 cm2，厚度为d=1cm；气缸全长为l=16cm（不含气缸底部的厚度），大气压强为p0=1.0105Pa。当温度为t1=7 时，活塞封闭的气柱长l0=8cm；若将气缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通。（g取10m/s2，不计活塞与气缸之间的摩擦）（1）将气缸倒过来放置，若温度上升到t2=27 ，求此时气柱的长度（结果保留三位有效数字）；（2）汽缸倒过来放置后，若逐渐升高温度，发现活塞刚好接触平台，求此时气体的温度T。分析与解答：对活塞，有气缸未倒过来时，p0S+mg=pS气缸倒过来后，p1S+mg=p0S温度为7时，由等温方程有：pSl0=p1Sl1联立解得：l1=12cm温度由7升高到27过程，由等压方程有l1ST1=l2ST2解得：l212.9cm活塞刚好接触平台时，由等压方程有l1ST1=（l-d）ST解得：T=350K
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