那么称为矩阵的最高阶非零子式.ppt

第四章矩阵的进一步讨论,线性代数,4.3矩阵的秩,一、子式,定义,在矩阵中，任取行与列，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.,例如,是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.,一般地，矩阵的阶子式共有个.,二、矩阵的秩,定义,设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.,规定：零矩阵的秩等于0.,例1求矩阵和的秩.,在中，容易看出一个2阶子式,的3阶子式只有一个,因此,因此,这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式,说明,根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为0，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；,当矩阵中有某个阶子式不为0，则,当矩阵中所有阶子式都为0，则,矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.,对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.,由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.,三、矩阵的秩的计算,定理,若，则,即两个等价矩阵的秩相等.,说明,根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.,证明,所以,大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换,解,析：根据定理，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.,再求的一个最高阶非零子式.,因此,在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式,说明,最高阶非零子式一般是不唯一的.,上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.,解,析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.,因为，故,即,说明,此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.,解,析：此题中矩阵的前4列与的列相同，如果用初等行变换将化为行阶梯形，则就是的行阶梯形，故从中可同时看出及,由此可见，,注：,把此题中的看作方程组的系数矩阵，看作常数项列，则就是增广矩阵，由的行阶梯形矩阵知，这个方程组无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程,四、矩阵的秩的性质,若为矩阵，则,特别地，当b为列矩阵时，有,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.,证明,例5设为阶矩阵，证明,证,因为,由性质，有,例6设为矩阵，为矩阵，证明,证,根据性质，有,而为阶矩阵，所以,作业：,P78-792.(2)(4)(5),