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28纵观全局整体思想阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：1. 整体观察2. 整体设元3. 整体代入4. 整体求和5. 整体求积注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法例题与求解【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是 （北京市竞赛题）解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案【例2】设是不全相等的任意数，若错误！未找到引用源。，则（ ）（全国初中数学联赛试题）A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零解题思路：由于的任意性，若孤立地考虑，则很难把握的正负性，应该考虑整体求出的值【例3】如果a满足等式错误！未找到引用源。，试求错误！未找到引用源。的值(天津市竞赛题)解题思路：不能直接求出的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现【例4】已知错误！未找到引用源。，代数式错误！未找到引用源。，求当错误！未找到引用源。时，代数式错误！未找到引用源。的值（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：的值无法求出，将给定的值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值【例5】已知实数满足方程组求的值错误！未找到引用源。（上海市竞赛题）解题思路：将上述六个式子看成整体，通过，分别得到错误！未找到引用源。【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：解答此题的关键是根据题意得出错误！未找到引用源。，这是本题的突破口注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的能力训练1已知密码：3ABCPQR=4PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是 2若a，b，c的值满足错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 (“城市杯”竞赛试题)3角中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算错误！未找到引用源。的值时，全班得到23.5，24.5，25.5这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是 4如果，那么= （“希望杯”邀请赛试题）5已知都是正数，设，那么与的大小关系是 （北京市“迎春杯”竞赛试题）6若方程组有解，则 （湖北省武汉市选拔赛试题）7若正数满足不等式，则的大小关系是（ ）A B C D8若，则的值是（ ）A B C D9在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）A B C D10设，满足等式，则 中至少有一个值（ ）A B C D（全国初中数学联赛试题）1112有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数（江苏省竞赛试题）13代数式中，可以分别取+1或-1（1）证明代数式的值都是偶数（2）求这个代数式所能取到的最大值（“华罗庚金杯”竞赛试题）14如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？ 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由（江苏省竞赛试题）28 纵观全局 整体思想例1 380 000提示：设a1，a2，a3，a999，al 000分别为所统计的1 000户居民的年收入，又设他们的平均值是A，误输入计算机的数据为a，由题意得例2 D提示：xyz (ab)2(bc)2(ac)2例3 原式例4将x2，y 4代入ax3by5 1 997中，得 8a2b51 997故4ab996 当x4，y时，3ax24by34 9863a(4)24b()34 986 12a3b4 9863(4ab)4 98639964 9861 998例5 得ba 20;得dc80；得fe320故，fedcba3208020420例6 设满足已知条件填好的数依次为a1，a2，a10，则a1a2a3a4a5M，a2a3a4a5a6M， a10 a1 a2 a3 a4M 所以5（a1a2a10）10M， 即10M，解得M275 而M为整数，故M的最小值为28将1，2，10分成如下的两组10，7，6，3，2，9，8，5，4，1依次填入图中，【能力训练】13571 4284428 571 210提示：由题意有，即则9a2b7c2(3a2bc)3(a2b3c)243（6）10323.54 18 x47x38x213x15x2(x22x)5x(x22x)2(x22x)9x153x215x69x15 3(x22x)9339185 提示：设xa1a2a1990，ya2a3a1 990，求MN61提示：将3个方程组相加得(ab1)(x2xl)0，而x2 x10，故ab107B 8B 9A 10A11(1)原式(由abc0，得bca，acb，abc)1(1)(1)30 (2)由得，即同理，三式相加得2()48，故24则12设前、后两个二位数分别为m，n，则根据题意有：10mmn100mn，m，由m0，n0，得n900，又n是两位数，且个位数字为5，因此n95，从而知m19，故所求四位数为1 99513(1)略 (2)在rvz，r wy，suz，swx，tuy，tvx这六项相乘 得，1，所以这六项中，至少有一项是1，这样六项之和之多是514在u，x，y为1，其他字母为1时，原式的最大值为414（1）能（2）不能 提示：设所填的6个数顺序为a，b，c，d，e，f，它们任意相邻三数和大于10，即abc11，bcd11，cde11，def11，efa11，fab11，则3（abcdef）66，故abcdef而12345621，所以不能使每三个相邻的数之和都大于10
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