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14 一次方程组阅读与思考 一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法 解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧 方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法 对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为的形式，方程组的解由的取值范围确定，当的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论例题与求解 【例1】 若m使方程组的解x，y的和为6，则m_ (湖北黄冈市竞赛试题)解题思路：用含m的式子分别表示x，y，利用xy6的关系式，求解m 【例2】 若4x3y6z0，x2y7z0（）则代数式的值等于 ( ) A B C15 D13(全国初中数学竞赛试题)解题思路：把z当作常数，解关于x，y的方程组 【例3】 解下列方程组 （1）（“缙云杯”邀请赛试题）（2）（北京市竞赛试题）（3）（“华罗庚金杯”竞赛试题） 解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加 【例4】 已知关于x，y的方程组分别求出a 为何值，方程组的解为： （1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论【例5】已知正数a，b，c，d，e，f满足，求的值（“CADIO”武汉市竞赛试题）解题思路：利用叠乘法求出abcdef的值【例6】已知关于x，y的二元一次方程（a3）x（2a5）y60，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解（1）求出这个公共解（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a3）x（2a5）y60的解（xx年“实中杯”数学竞赛试题）解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解能力训练A级1 若是关于x，y的二元一次方程，则的值等于_.（“希望杯”邀请赛试题）2 方程组，的解为_.（辽宁省中考试题）3 已知方程组由于甲看错了方程中的a得到方程组的解为x3，y 1；乙看错了方程中的b得到方程组的解为x5，y4若按正确的a，b计算，则原方程组的解为_.（四川省联赛试题）4 已知关于的方程有无穷多个解，则a ，b_. （“希望杯”邀请赛试题）5已知，则有( )A. x2，y3 B. x6，y3 C. x3，y6 D. x3，y6 6如果方程组的解也是方程4xy2a0的解，那么a的值是 ( ) A. B. C. 2 D. 2 7设非零实数a，b，c满足，则的值为( ) A. B.0 C. D. 1（xx年全国初中数学竞赛试题） 8若方程组的解为则方程组 的解为( )A. B. C. D （山东省枣庄市中考试题） 9已知关于x，y的方程组的解x，y的值的和为6，求k的值 （上海市竞赛试题）10解方程组（1）（云南省昆明市竞赛试题）（2）（浙江省竞赛试题）（3）11若满足下列方程组，求的值（美国数学邀请赛试题）B级1已知对任意有理数a，b，关于x，y的二元一次方程有一组公共解，则公共解为_.（江苏省竞赛试题）2设，则3x2yz （xx年全国初中数学竞赛试题）3若关于x，y的方程组有自然数解，则整数m可能的值是 （xx年浙江省湖州市竞赛试题）4 已知方程组，当a ，b 时，方程组有唯一一组解；当a ，b 时，方程组无解；当a ，b 时，方程组有无数组解（“汉江杯”竞赛试题）5“”表示一种运算符号，其意义是ab2ab，如果x（13）2，则x ( )A.1 B. C. D2 （江苏省竞赛试题）6已知，则的值为( )A.1 B. C. D （重庆市竞赛试题）7已知关于x，y的两个方程组和具有相同的解，那么a，b的值是( )A. B. C. D8若a，c，d是整数，b是正整数，且满足abc，bcd，cda，则abcd的最大值是( )A. 1 B. 5 C.0 D1 （全国初中数学联赛试题）9解方程组（1）（江苏省竞赛试题）（2）（上海市竞赛试题）10已知，求的值（山西省太原市数学竞赛试题）11已知，中每一个数值只能取2，0，1中的一个，且满足求的值17，37求的值（“华罗庚金杯”邀请赛试题）12已知k是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，问：这样的整数k有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题14 一次方程组例1 8 一得3y=m-2，2+得3x=4+m，又由x+y=6得+=6，解得m=8.例2 D 提示：由题意知得代入原式中，得.例3 （1），提示：令，则x=4k,y=5k,z=6k. (2) ,提示：将方程分别相加、相减得x+y=3,x-y=-1. （3）由题意可设x1=x3=x5=x1999=A,x2=x4=x6=x1998=B，则 解得A=1 000，B=- 999，即xl= x3 =x5=x1999=1 000,x2 =x4 =x6=x1998=-999.例4提示：由方程组得 (1)当（a-2）(a+1)o，即a2且a-l时，原方程组有唯一解； (2)当(a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)与a-2中至少有一个不为0时，方程组无解，故当a= -1时，原方程组无解； (3)当(a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（a-2)=0, 即a=2时，原方程组有无数组解例5提示：依题意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，从而，故，同理可得, ，那么例6 (1)分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为 (2)把(a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为(x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0依题意可得 ,解得. 无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解A级1. 2. 3. 4. 2 1 5C 6B7A 提示：由已知得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca，则原式的值为8. C 提示：依题中方程组知解得9. 5 提示：10. (1) (2) 提示：设，.(3) ,11. 181 提示：将各个方程相加得x1+x2 +x3 +x4+x5 31B级1. 提示：由a(xy1)b(xy1)0知2. 10 提示：3x2yz2(2xy3z)(x4y5z)223364636103. 1，0，1，4 提示：把y3x代入6xm y18中得6x3my18, 整理得x，又因为x，y为自然数，故符合条件的m取值为1，0，1，4。4. 2 为任意有理数 2 5 2 55. B6. B 提示：运用奇数、偶数性质分析。7. B 提示：由得方程组的解为8. B 提示：由条件得a3b, c2b, db9. (1) 提示：当xy0时，当xy0时， （2）a, b, c3, d1, e4, a, b, c3, d1, e4 提示：由方程组得abcde144.10由题意三个式子可变形得得则，故11设有P个x取1，q个x取2则有解得所以原式1139(2)37112由题中条件得设消去k得5m4n7，解得从而得k2241t由19102241txx，得，故共有2个k值使原方程组有整数解
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