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12 数余的扩充 实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张. 理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意： 1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里，是互质的整数，且0）； 2掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与相关的数，开方开不尽得到的数等； 3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数； 4明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？带根号的数是无理数；两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】 已知则的平方根是_. （湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题） 解题思路：运用式子的非负性，求出，的值【例2】若，是实数，且则的值是( ). A3或3 B3或1 C3或1 D3或1 （湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得0，0，求出1代入原式中可得2由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性： 中0； 0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】 已知实数，满足等式，求的值 （北京市竞赛试题）解题思路：观察发现，互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点【例4】已知，是有理数，且，求，的值解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于，的方程组.实数有以下常用性质：若，都是有理数，为无理数，且，则0;若，都是有理数，为无理数，且“，则，要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想 怎样证明是无理数？【例5】一个问题的探究 问题：设实数，满足0且. 求证： 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设，为两两不相等的有理数，求证：为 有理数（2）设，求的整数部分.解题思路：从公式入手 【例6】设， 求的值（用含的代数式表示，其中为正整数） （四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将变形为一个代数式的平台。能 力 训 练A 级1在实数4，0，中，共有_个无理数 （贵州省贵阳市中考试题）2设，是的小数部分，则的值为_ . (xx年全国初中数学竞赛试题)3已知，则的值为_ （山东省济南市中考试题）4观察下列各式：，猜测：_ . （辽宁省大连市中考试题） 5已知有理数，满足，那么_.A. B. C. D. （xx年“实中杯”数学竞赛试题）6若，为实数，且，则的值为( )A. 1 B1 C2 D2 （天津市中考试题）7一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A. B C D （山东省潍坊市中考试题）8若，则的值为( )A1 B1 C2 D3 （湖北省荆门市中考试题） 9已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根10.计算： （广西竞赛试题）11.若，满足，求的取值范围 （全国初中数学联赛试题）B 级1与互为相反数，且那么的值为_ （全国初中数学竞赛试题）2若，则的值为_ （海南省竞赛试题）3已知实数满足，则_ . 4的整数部分为，小数部分为，则的值为_ （广东省竞赛试题）5已知非零实数，满足，则等于( ) A1 B0 C1 D2 （“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）6已知，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. 7已知：，那么代数式的值为( ) A B C D. （重庆市竞赛试题）8下面有3个结论：存在两个不同的无理数，它们的差是整数；存在两个不同的无理数，它们的积是整数；存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.其中，正确的结论有( )个 A.0 B1 C2 D3 （江苏省竞赛试题）9已知是整数，求所有满足条件的正整数的和 （“CASIO杯”武汉市竞赛试题）10.设，都是有理数，是无理数. 求证：(1) 当时，是有理数；(2) 当时，是无理数11.已知非零实数，满足.求值 （“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）专题12数余的扩充实数的概念与性质例1 土 提示：由条件得a20,b40,ab2c0，则a2，b4，c1故（ac）b2（一1）4，的平方根为土；例2 B例3 由,得mn199.，由非负数性质，得解得p=201。例4 已知等式整理，得 因为a，b是有理数，所以且， 解得例5 =故，进一步 .（1）可证明 （2）令x =1，y=n，得 S= 故S的整数部分为xx.例6 原式=A级1. 22. 9 提示：，则b=, b+2= 故 3. 4. 5. B 提示：由题知， 则即， 故6. B7. B8. C9. 210. 原式= =11. 由题中条件 3 + 5 得 2 - 3 得 又0，0，则 解得B组1. 提示：由条件，解得 故x2 + 2xy +1=2. 2 提示：由得，故有(x+1)+2x=7 ,所以x的值为2.3. xx 提示：由条件得：axx，则，从而有： a2 - 2004 = xx4. 1 5. C 提示：由条件得：a3，则，a+b=1。6. C 提示：因为，所以.故ba，因此ba0，8. D 举例：，满足；，满足9. 设，则b2 - a2 =xx，而xx = 5401,5,401均为质数，a，b为正整数，或 解得a =1002或a=198，从而1002+198 = 1200. 10. (1)c、d不能同时为0，否则y无意义，若c=0，由bc=ad，d0，得a=0, 此时y=为有理数；若d=0，则C0，由bc=ad，得b=0，此时为有理数，若c0，且d0，由bc=ad，得，代入y得y为有理数(2)假设bcad时，y为有理数，则（cx+d)y=ax+b，即（cya)x+(dyb)=0，因cya，dyb为有理数，x为无理数，故有cya=0,dyb=0，从而bc=cdy=(cy)d=ad，这与已知条件bcad矛盾，从而y不是有理数，y一定是无理数11（a3)b20，a30，a3原式可化为，即，解得a=3,b=2，故a+b=3+(2)=1
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