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17 不等式(组)的应用 阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1作差或作商比较有理数的大小 2求代数式的取值范围 3求代数式的最大值或最小值 4列不等式(组)解应用题 列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“”“”“0”“0”“0”“0”例题与求解【例1】如果关于的方程只有负根，那么的取值范围是_ (辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题) 解题思路：由0建立关于的不等式【例2】已知A，B，C，则有( )AABC BCBA CBAC DBCA(浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知，是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数的最大值 (北京市竞赛试题) 解题思路：设，则+159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式 【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位引入字母，把方程和不等式结合起来分析 【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案 (河北省竞赛试题)解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来【例6】已知，皆为自然数，且1若，求的值 (香港中学数学竞赛试题) 解题思路：此题可理解为在个连续自然数中去除其中一个数 (且1，是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求和之和。 能力训练A级1.若方程的解小于零，则的取值范围是_2.若方程组的解为，且24，则的取值范围是_（山东省聊城市中考试题）3.，是正整数，且20，24，22，设的最大值为M，最小值为N，则MN_（重庆市竞赛试题）4一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站时有名乘客下车，则车上原有_名乘客（吉林省长春市中考试题）5一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球_个 (河北省竞赛试题)6若，且2，则( )A有最小值 B有最大值1 C有最大值2 D有最小值 (浙江省杭州市中考题)7设，则P，Q的大小关系是（ ）APQ BPQ CPQ D不能确定8小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( ) A49千克 B50千克 C24千克 D25千克 (山东省烟台市中考试题)9中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?(江苏省竞赛试题)10某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示： 一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港 根据题目中所给的条件，回答下列问题： (1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_m，卸货最多只能用_小时；(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？（江苏省苏州市中考试题）B级1设，都是整数，且3，5，7，30，那么的最大可能值为_（“新世纪杯”数学竞赛试题）2某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房_间3已知0，满足不等式，那么的取值范围是_4若，满足，S，则S的取值范围是_ (广西竞赛试题)5已知，是彼此互不相等的负数，且M()()，N()()，那么M与N的大小关系是( ) AMN BMN CMN D无法确定(江苏省竞赛试题)6某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10，那么该书至少要发行( )套 A2 000 B3 000 C4 000 D5 000 (“希望杯”邀请赛试题)7今有浓度为5，8，9的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市竞赛试题)8为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖金（元/人）15007000当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积1 9分 (1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场 (2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。 (黑龙江省中考试题) 9为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元 (1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所? (3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案 (湖北省襄樊市中考试题)10设，是整数，且满足下列条件：(1)l2(1，2，2 008)；(2)；(3)求的最大值和最小值(“宗沪杯”竞赛试题)专题16 不等式（组）例1 C 提示：解不等式组得，则5个整数解为x19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足1432t15，故6t.例2 提示：，.例3 或 提示：解方程组得，由得1m0例4 提示：由已知条件得 ,解得,m=3c2.由得,解得,故m的最大值为,最小值为例5先用x1和x2表示x3,x 4，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x1是10的奇数倍.又因为x1x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为2(x1+x2)=2118=236.例6解法一 ：0ab1，1a+b4 ，由知4ab1，+得42b0，即2b0，+得2a2b1要使a2b最大，只有ab=1且b=0. a=1 且b=0，此时8a+2003b=8.解法二 ：设a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+ (mn)b,知,解得.而,a2b=+2a2b1当a2b 最大时，a +b=1，ab=1b=0，a=1，此时8a+2003b=8.A 级1.2.11.1提示:原不等式组变形为由解集是0x2知,解得故a+b=2+(1)=13.abba 4.m75.B提示：由ax+3a3+x,得(a1)(x+3)0,.由不等式的解集为x3知x+30,所以a10,得a1.6.C 7.B 8.C 9.k=2或3.10.提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,得a=5,4,3;b=5,6.故整数对(a,b)共有23=6对.B 级1. 提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得2.a1 提示:原不等式组变形为由不等式组有解知a1,故a13. 9a12 4.5. B 提示:原不等式组变形为,.6. C示：若x2000，则(x2000)+x9999，即2000x5999, 共有4 000个整数;若0x2000,则(x2000)+x9999.20009999，恒成立，又有2000个整数适合若x0，则2000x+(x) 9999即3999.5x0，共有3999个整数适合，故一共有4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合.7. D 8.C 提示:由原不等式得x2(x+5)29.提示：解不等式，得,原式=,从而知最大值为4，最小值为10.提示：s=x+2，2s311.提示:由,得，即.又n与k是都是正整数，显然n8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数.当n=15时,即 此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b4，又ba=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.
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