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中考专题训练：反比例函数一选择题（共15小题）1如图，ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）若函数y=在第一象限内的图象与ABC有交点，则k的取值范围是（）A2kB6k10C2k6D2k2已知点A在双曲线y=上，点B在直线y=x4上，且A，B两点关于y轴对称设点A的坐标为（m，n），则+的值是（）A10B8C6D43如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC=AB，则平行四边形ABCD的面积是（）A7B10C14D284如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）ABC3D45如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（）A1B2C3D46如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC；当0x3时，y1y2；如图，当x=3时，EF=；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（）A1B2C3D47如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）An=2mBn=Cn=4mDn=8如图，点A是反比例函数（x0）图象上任意一点，ABy轴于B，点C是x轴上的动点，则ABC的面积为（）A1B2C4D不能确定9如图，RtABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若SBEC=8，则k等于（）A8B16C24D2810在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k0）的图象大致为（）ABCD11如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，ABx轴，ADy轴，且对角线的交点与原点O重合在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k0）中k的值的变化情况是（）A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大12如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OBAC=160，则k的值为（）A40B48C64D8013直线y=2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B过点A作AEy轴于点E，过点B作BFx轴于点F，连接EF，下列结论：AD=BC；EFAB；四边形AEFC是平行四边形；SAOD=SBOC其中正确的个数是（）A1B2C3D414如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k0，x0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，NDx轴，垂足为D，连接OM、ON、MN下列结论：OCNOAM；ON=MN；四边形DAMN与MON面积相等；若MON=45，MN=2，则点C的坐标为（0，）其中正确结论的个数是（）A1B2C3D415如图，反比例函数y=（x0）的图象经过点A（1，1），过点A作ABy轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B在此反比例函数的图象上，则t的值是（）ABCD二填空题（共5小题）16如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DEx轴于E，DCy轴于C，一次函数y=x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为 17已知点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，且OAOB，则tanB为 18如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（6，4），则AOC的面积为 19如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E若ABE的面积为1.5，则k的值为 20两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、Pxx在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、xxx，纵坐标分别是1，3，5共xx个连续奇数，过P1，P2，P3、Pxx分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1，y1）、Q1（x2，y2）、Q2（xxx，yxx），则|PxxQxx|= 三解答题（共5小题）21如图，已知A（n，2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求AOC的面积22如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（6，0），（0，6），点B的横坐标为4（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）直接写出不等式的解23如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围24已知双曲线y=（x0），直线l1：y=k（x）（k0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），直线l2：y=x+（1）若k=1，求OAB的面积S；（2）若AB=，求k的值；（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PMx轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）25定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，BCP=ABC，则BCPABC，故点P是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一选择题（共15小题）1如图，ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）若函数y=在第一象限内的图象与ABC有交点，则k的取值范围是（）A2kB6k10C2k6D2k【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，k2随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=x+7，得x27x+k=0根据0，得k综上可知2k故选：A2已知点A在双曲线y=上，点B在直线y=x4上，且A，B两点关于y轴对称设点A的坐标为（m，n），则+的值是（）A10B8C6D4【解答】解：点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y轴对称，B（m，n），点A在双曲线y=上，点B在直线y=x4上，n=，m4=n，即mn=2，m+n=4，原式=10故选：A3如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC=AB，则平行四边形ABCD的面积是（）A7B10C14D28【解答】解：设M的坐标为（0，m）（m0），则直线AB的方程为：y=m，将y=m代入y=中得：x=，A（，m），将y=m代入y=中得：x=，B（，m），DC=AB=（）=，过B作BNx轴，则有BN=m，则平行四边形ABCD的面积S=DCBN=m=14故选：C4如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）ABC3D4【解答】解：过点B作BEx轴于点E，D为OB的中点，CD是OBE的中位线，即CD=BE设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=，ADO的面积为1，ADOC=1，（）x=1，解得k=，故选：B5如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（）A1B2C3D4【解答】解：连接CO，过点A作ADx轴于点D，过点C作CEx轴于点E，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，COAB，CAB=30，则AOD+COE=90，DAO+AOD=90，DAO=COE，又ADO=CEO=90，AODOCE，=tan60=，则=3，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，|xy|=ADDO=6=3，k=ECEO=1，则ECEO=2故选：B6如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC；当0x3时，y1y2；如图，当x=3时，EF=；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：对于直线y1=2x2，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，A（1，0），B（0，2），即OA=1，OB=2，在OBA和CDA中，OBACDA（AAS），CD=OB=2，OA=AD=1，SADB=SADC（同底等高三角形面积相等），选项正确；C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2=，由函数图象得：当0x2时，y1y2，选项错误；当x=3时，y1=4，y2=，即EF=4=，选项正确；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项正确，故选：C7如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）An=2mBn=Cn=4mDn=【解答】解：由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，点C的坐标为（m，n），点A的坐标为（， n），点B的坐标为（，n），根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，=m，即n=故选：B8如图，点A是反比例函数（x0）图象上任意一点，ABy轴于B，点C是x轴上的动点，则ABC的面积为（）A1B2C4D不能确定【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2则AB=m，ABC的AB边上的高等于n则ABC的面积=mn=1故选：A9如图，RtABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若SBEC=8，则k等于（）A8B16C24D28【解答】解：BD为RtABC的斜边AC上的中线，BD=DC，DBC=ACB，又DBC=EBO，EBO=ACB，又BOE=CBA=90，BOECBA，=，即BCOE=BOAB又SBEC=8，即BCOE=28=16=BOAB=|k|又由于反比例函数图象在第一象限，k0所以k等于16故选：B10在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k0）的图象大致为（）ABCD【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，k0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知k0，且k0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，k0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴且过一、二、三象限可知k0，两结论一致，故本选项正确；C、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，k0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k0，两结论矛盾，故本选项错误D、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，k0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知k0且k，两结论相矛盾，故本选项错误；故选：B11如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，ABx轴，ADy轴，且对角线的交点与原点O重合在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k0）中k的值的变化情况是（）A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大【解答】解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b矩形ABCD的周长始终保持不变，2（2a+2b）=4（a+b）为定值，a+b为定值矩形对角线的交点与原点O重合k=ABAD=ab，又a+b为定值时，当a=b时，ab最大，在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小故选：C12如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OBAC=160，则k的值为（）A40B48C64D80【解答】解：四边形OABC是菱形，OB与AC为两条对角线，且OBAC=160，菱形OABC的面积为80，即OACD=80，OA=OC=10，CD=8，在RtOCD中，OC=10，CD=8，根据勾股定理得：OD=6，即C（6，8），则k的值为48故选：B13直线y=2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B过点A作AEy轴于点E，过点B作BFx轴于点F，连接EF，下列结论：AD=BC；EFAB；四边形AEFC是平行四边形；SAOD=SBOC其中正确的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：如右图所示，y=2x+5与相交，解得或，A点坐标是（1，3），B点坐标是（，2），直线y=2x+5与x轴和y轴的交点分别是（，0）、（0，5），C点坐标是（，0），D点坐标是（0，5），AEy轴，BFx轴，AE=1，DE=ODOE=53=2，在RtADE中，AD=，同理可求BC=，故AD=BC，故选项正确；OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，EFAB，故选项正确；AE=CF=1，且AECF，四边形AEFC是平行四边形，故选项正确；SAOD=ODAE=51=2.5，SBOC=OCBF=2=2.5，SAOD=SBOC，故选项正确故选：D14如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k0，x0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，NDx轴，垂足为D，连接OM、ON、MN下列结论：OCNOAM；ON=MN；四边形DAMN与MON面积相等；若MON=45，MN=2，则点C的坐标为（0，）其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：点M、N都在y=的图象上，SONC=SOAM=k，即OCNC=OAAM，四边形ABCO为正方形，OC=OA，OCN=OAM=90，NC=AM，OCNOAM，所以正确；ON=OM，k的值不能确定，MON的值不能确定，ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，ONMN，所以错误；SOND=SOAM=k，而SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN，四边形DAMN与MON面积相等，所以正确；作NEOM于E点，如图，MON=45，ONE为等腰直角三角形，NE=OE，设NE=x，则ON=x，OM=x，EM=xx=（1）x，在RtNEM中，MN=2，MN2=NE2+EM2，即22=x2+（1）x2，x2=2+，ON2=（x）2=4+2，CN=AM，CB=AB，BN=BM，BMN为等腰直角三角形，BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a，在RtOCN中，OC2+CN2=ON2，a2+（a）2=4+2，解得a1=+1，a2=1（舍去），OC=+1，C点坐标为（0， +1），所以正确故选：C15如图，反比例函数y=（x0）的图象经过点A（1，1），过点A作ABy轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B在此反比例函数的图象上，则t的值是（）ABCD【解答】解：如图，点A坐标为（1，1），k=11=1，反比例函数解析式为y=，OB=AB=1，OAB为等腰直角三角形，AOB=45，PQOA，OPQ=45，点B和点B关于直线l对称，PB=PB，BBPQ，BPQ=OPQ=45，BPB=90，BPy轴，点B的坐标为（，t），PB=PB，t1=|=，整理得t2t1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），t的值为故选：A二填空题（共5小题）16如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DEx轴于E，DCy轴于C，一次函数y=x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为2【解答】解：的图象经过点C，C（0，2），将点C代入一次函数y=x+m中，得m=2，y=x+2，令y=0得x=2，A（2，0），SAOC=OAOC=2，四边形DCAE的面积为4，S矩形OCDE=42=2，k=2故答案为：217已知点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，且OAOB，则tanB为【解答】解：过A作ACy轴，过B作BDy轴，可得ACO=BDO=90，AOC+OAC=90，OAOB，AOC+BOD=90，OAC=BOD，AOCOBD，点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，SAOC=1，SOBD=4，SAOC：SOBD=1：4，即OA：OB=1：2，则在RtAOB中，tanABO=故答案为：18如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（6，4），则AOC的面积为9【解答】解：点D为OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（6，4），点D的坐标为（3，2），把（3，2）代入双曲线，可得k=6，即双曲线解析式为y=，ABOB，且点A的坐标（6，4），C点的横坐标为6，代入解析式y=，y=1，即点C坐标为（6，1），AC=3，又OB=6，SAOC=ACOB=9故答案为：919如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E若ABE的面积为1.5，则k的值为3【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），点D在反比例函数y=的图象上，k=xa，四边形ABCD是正方形，CAB=45，OAE=CAB=45，OAE是等腰直角三角形，E（0，x），SABE=ABOE=ax=1.5，ax=3，即k=3故答案为：320两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、Pxx在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、xxx，纵坐标分别是1，3，5共xx个连续奇数，过P1，P2，P3、Pxx分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1，y1）、Q1（x2，y2）、Q2（xxx，yxx），则|PxxQxx|=【解答】解：由题意可知：Pxx的坐标是（Pxxx，4013），又Pxx在y=上，Pxxx=而Qxxx（即Pxxx）在y=上，所以Qyxx=，|PxxQxx|=|PyxxQyxx|=|4013|=故答案为：三解答题（共5小题）21如图，已知A（n，2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求AOC的面积【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，m=xy=14=n（2），解得m=4，n=2，将A（2，2），B（1，4）代入y=kx+b中，得，解得，反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=2x+2；（2）由直线y=2x+2，得C（0，2），SAOC=22=222如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（6，0），（0，6），点B的横坐标为4（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）直接写出不等式的解【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，一次函数与坐标轴的交点为（6，0），（0，6），一次函数关系式为：y=x+6，B（4，2），反比例函数关系式为：；（2）点A与点B是反比例函数与一次函数的交点，可得：x+6=，解得：x=2或x=4，A（2，4），SAOB=66262=6；（3）观察图象，易知的解集为：4x223如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围【解答】解：（1）由题意A（2，4），B（4，2），一次函数过A、B两点，解得，一次函数的解析式为y=x+2；（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），SAOC=OC|Ax|，SBOC=OC|Bx|SAOB=SAOC+SBOC=OC|Ax|+OC|Bx|=6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x2或0x424已知双曲线y=（x0），直线l1：y=k（x）（k0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），直线l2：y=x+（1）若k=1，求OAB的面积S；（2）若AB=，求k的值；（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PMx轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）【解答】解：（1）当k=1时，l1：y=x+2，联立得，化简得x22x+1=0，解得：x1=1，x2=+1，设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）SOAB=SAOCSBOC=2（x2x1）=2；（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1k）x1=0（k0），=（1k）24k（1）=2（1+k2）0，x1、x2 是方程的两根，AB2=（x1x2）2+（+）2=（x1x2）2+（）2=（x1x2）21+（）2=，AB=，即=，整理得，2k2+5k+2=0，即（2k+1）（k+2）=0，解得k=2或k=（3）F（，），如图：设P（x，），则M（+，），则PM=x+=，PF=，PM=PFPM+PN=PF+PNNF=2，当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=x+2，由（1）知P（1， +1），当P（1， +1）时，PM+PN最小值是225定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，BCP=ABC，则BCPABC，故点P是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）ONP=M，NOP=MON，NOPMON，点P是MON的自相似点；过P作PDx轴于D，则tanPOD=，MON=60，当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），MNO=90，NOPMON，NPO=MNO=90，在RtOPN中，OP=ONcos60=，OD=OPcos60=，PD=OPsin60=，P（，）；（2）作MHx轴于H，如图3所示：点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），OM=2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，MOH=30，分两种情况：如图3所示：P是MON的相似点，PONNOM，作PQx轴于Q，PO=PN，OQ=ON=1，P的横坐标为1，y=1=，P（1，）；如图4所示：由勾股定理得：MN=2，P是MON的相似点，PNMNOM，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=得： =x，解得：x=2，P（2，）；综上所述：MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使MON无自相似点，M（，3），N（2，0）；理由如下：M（，3），N（2，0），OM=2=ON，MON=60，MON是等边三角形，点P在MON的内部，PONOMN，PNOMON，存在点M和点N，使MON无自相似点