多元函数微分学的几何应用.ppt

二、空间曲线的切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第八章,一、一元向量值函数及其导数,引例:已知空间曲线的参数方程:,的向量方程,对上的动点M,即是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.,值函数.,要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.,定义:给定数集DR,称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）,记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨论.,极限：,连续：,导数：,因此下面仅以n=3的情形为代表,向量值函数导数的几何意义:,在R3中,设,的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停,表示终端曲线在t0处的,切向量,其指向与t的增长方,向一致.,则,向量值函数导数的物理意义:,设,表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有,速度向量：,加速度向量：,例2.设空间曲线的向量方程为,求曲线上对应于,解:,的点处的单位切向量.,故所求单位切向量为,其方向与t的增长方向一致,另一与t的增长方向相反的单位切向量为,=6,二、空间曲线的切线与法平面,过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.,置.,空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位,给定光滑曲线,在,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为,点向式可建立曲线的切线方程,1.曲线方程为参数方程的情况,因此曲线在点M处的,则在点M的切向量为,法平面方程,给定光滑曲线,为0,切线方程,例3.求曲线,在点M(1,1,1)处的切线,方程与法平面方程.,解：,点(1,1,1)对应于,故点M处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,(2)光滑曲线的方程为,切向量,法平面方程,切线方程,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,可表示为,处的切向量为,法平面方程,切线方程,例5.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,解法2方程组两边对x求导,得,曲线在点M(1,2,1)处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点M(1,2,1)处的切向量,三、曲面的切平面与法线,设有光滑曲面,通过其上定点,对应点M,切线方程为,不全为0.,则在,且,点M的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为在该点的切平面.,上过点M的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在上,得,令,由于曲线的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,曲面在点M的法向量:,法线方程,切平面方程,过M点且垂直于切平面的直线,称为曲面在点M的法线.,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,例6.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:令,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),所以曲面在点(2,1,0)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,解:令,例8.确定正数使曲面,在点,解:二曲面在M点的法向量分别为,二曲面在点M相切,故,又点M在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,(2)光滑曲线的方程为,切向量,法平面方程,切线方程,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,可表示为,处的切向量为,法平面方程,切线方程,空间光滑曲面,曲面在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,2.设f(u)可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,