解线性方程组的直接方法.ppt

22三角分解法,2.2.1杜里特尔分解法求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去法的矩阵形式。高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈,它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增广矩陈被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵，即,此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然,这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵分解为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，并且求解议程组的过程。回代过程就是求解上三角形方程组,矩阵和也可直接算出。事实上，比较等式两边等行、第列元素可知,注意是单位下三角矩阵，便知,从而,同样，因为上三角阵，知,可见,公式（2-2）和（2-3）就是计算和各元素的计算公式。实际计算时的对角元不必存放，和中肯定为零的元素也不必存放，因此的可共同存放在增广矩阵的位置：,此时公式（2-2）、（2-3）表明，或都是原始矩阵对应元素，减去同行左边的元素与同列上边的元素乘积；只是对的元素，然后需除以的对角元。计算顺序，通常先算的第行，再算的第列；也可先算的第列，再算的第行，如图21所示：,图21计算顺序,例21分解，并解方程组，其中,解按计算公式（2-2）和（2-3）,详细计算过程如下（下文不再写出）：,从而,回代（解方程组），得,分解且为单位下三角阵、为上三角阵，称为杜里特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组或，相当于解两个三角形方程组,解下三角方程组可以在分解时同时完成（如例21），也可独立完成。这是因为，把写成分量形式，就是,由此可见，,用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消去法完全一样。其中分解需次，解需次，解需次，共计次。,它们都是单位下三角矩阵，即对角全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去过程，实质是增广矩阵被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵,即此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然注意是将单位矩阵,三角分解法常用于求解系数矩阵都是的若干方程式组,这是因为，一旦完成分解，只需再解个三角形方程组,解这种三角形方程组每组只需次乘除法，远比重复使用高斯消去法节省工作量。,为保证三角分解顺序、稳定进行，与高斯消去法一样，也可选,主元。常用列主元法。,.克洛特分解法,当矩阵可作杜里特尔分解时,令为对角元构,成的对角阵,则,再算第行；或者先算第行，再算第列，如图22所示。克洛特分解法的用法及运算量与杜里特尔分解法相同。例22用克洛特分解法求解方程组,解,得,解，得解。解毕。,为保证克洛特分解法顺利、稳定进行，也可采用列主元法。求解步骤如下：,对做,计算结束时的第列就是解注意：例22中系数矩阵对称：，此时就是各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵。一般来说对称且可作克洛特分解，记的对角元构成的对角阵为，各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为，则,可见，说明都是各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵；说明对称矩阵可分解为或。因此可由直接求出，而不必再按公式（24）第二式重复计算。这样分解可以节省次乘法，即节约大约一半的运算量。也可不存储。,2.2.3追赶法追赶法适于求解对角方程组,这里,其实质是高斯消去法、三角分解法的应用。事实上，将作克特分解,则易知,回代得,。,按照这些公式次数求解的方法就称追赶法，其中算称追，回代称赶，共需乘除法次数为，远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用选主元，就可保证顺利、稳定进行。,2.2.4平方根法,平方根法适于求解对称正定的方程组。此时的各阶顺序主子式，保证了主元大于零，保证了可作克特分解而且的对角元（也就是主元）全为正数。所以令，则,再记为，则上式表明。对称正定矩阵可分解为，即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积，利用比较法可得元素计算公式：,利用这种分解方程组称为平方根法或乔列斯基(cholesky)分解法。跟前种分解法一样，求解下三角方程组可在分解的同时进行。,例23用平方根法求解例22方程组。,解,故知,解,解毕,平方根法求解方程组，需做次乘除法和次开方，比考虑到对称的克洛特分解法节省次乘除法但增加次开方。为避免开主，有人提出了改进平方根法，不过它其实就是考虑到对称的克洛特分解法，如2.2.2节最后一段所述。,