角形单元的有限元法程序设计.ppt

第6章有限元程序设计方法,6.1程序基本框图1、输入基本数据（结构描述）：（1）控制数据：如结点总数、单元总数、约束条件总数等；（2）结点数据：如结点编号、结点坐标、约束条件等；（3）单元数据：如单元编号、单元结点序号、单元的材料特性、几何特性等；（4）载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。,2、单元分析,（1）各单元的bi,ci(i,j,m)，面积A；（2）应变矩阵B，应力矩阵S；（3）单元刚度矩阵k；（4）单元等价载荷列向量F。,3、系统分析（1）整体刚度矩阵K的组装；（2）整体载荷列阵P的形成；,K的存储；约束引入；求解,总刚存贮,全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。Ki,j对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。半带宽存贮法：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。一维压缩存贮法：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。,等带宽形式,方阵形式,（1）半带宽存贮法,方阵存贮和半带宽存贮地址关系,半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是d，则最大半带宽为UBW：,结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。,（2）变带宽存贮（一维压缩存贮）,等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮可以实现（也称一维数组存贮）。变带宽存贮编程技巧要求较高，程序较长。,对称,方阵形式的刚度矩阵K,顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。,一维数组A存贮刚度矩阵K,变带宽存贮：按列存贮方式。从左到右，逐列存放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺序存放，直到顶线下第一个元素为止。为避免混淆，我们把存贮K的一维数组称为A。实现变带宽存贮的关键问题是：总刚中元素Kij在一维数组A中的地址是什么？为此，需要知道主元Kii在A中的位置和相应列高hi。主元位置：采用一个一维数组MAXA存主元在A中位置。MAXA=1,2,4,6,10,12,16,18，22。,列高hj：第j行的左带宽。,从第j列的主对角线元素起到该列上方第一个非零元素为止，所含元素的个数称为第j列的列高，记为hj；如果把第j列上方第1个非零元素的行号记为mj，则第j列的列高为hj=j-mj+1其实，hj就是第j行的左带宽，因而必有UBW=max(hj)j=1,2,N,利用节点位移信息数组ID（去约束后节点位移自由度编码），可容易地确定刚度矩阵K任何一列的列高。,4、引入约束条件,手算时采用去行列法，而计算机编程时采用乘大数法。即：指定结点位移对应的主对角元素乘上一个大数，同时将P中对应元素换为结点位移指定值与扩大了的主对角线元素的乘积。,5、线性方程组求解,求解方法常用：GAUSS消元法，QR分解法等。其程序在此不作详细介绍，其方法参阅数值分析有关书籍。,6、单元应力,节点位移求单元应力。首先整体节点位移变换成单元节点位移，然后再用物理方程求单元应力。,例1：对角受压的正方形薄板，载荷沿厚度均匀分布，为2N/m。由于对称性，取1/4部分作为计算对象，试用有限元程序进行计算。,例2：简支梁，梁高3m,跨度18m，厚度1m，承受均布荷载10N/m2。已知按平面应力问题进行计算。,网格划分,6.2提高计算精度的方法,（1）计算结果的整理计算结果包括位移和应力两个方面。在位移方面，一般无须进行整理工作。应力结果则需要整理。通常认为计算出的应力是三角形单元形心处的应力。而相邻单元之间的应力存在突变，甚至正、负符号都不相同。为了由计算结果推算出结构内某一点的接接实际的应力，必须通过某种平均计算。通常可采用两单元平均法或绕结点平均法。,平均法整理单元应力,两单元平均法：把两个相邻单元中的常应力加以平均，用来表示公共边界中点处的应力。绕结点平均法：把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力。在内结点效果较好，而在边界结点可能很差，一般改为应由内结点的应力外推计算出来。（2）网格的细分通过网格的细分，使每个单元的面积缩小，那么尽管每个单元是应变、常应力单元，仍可较好地反映结构中的应力变化，使得到的解答收敛于问题的精确解。,（3）网格合理布局根据应力梯度使网格的布局合理化。即在梯度大的区域网格密些，梯度小的区域应稀些。密、稀网格之间应逐步过渡。（4）改用高阶单元受集中力的悬臂梁，采用128个三结点三角形常应变单元，以及3个八结点四边形高阶单元结果。由图可见，采用高阶元的计算精度比常应变元高得多。,带圆孔方板的网格划分,6.3通用有限分析软件,1、ANSYS结构、热、流体、电磁学、声学等。2、SAP2000土木结构分析。,习题,1、调试教材程序。2、修改FEM1,计算算例。3、以算例为对象，研究单元细分对计算结果的影响。,