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掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定的点、圆的方程，判断直线和圆的位置关系，能用代数方法处理几何问题的思想【命题预测】圆的方程是历年来高考的一个考点，利用定义和性质，结合代数、解析几何的基本思想，将所给的条件进行转化后求解，是今后高考命题的方向,第3课时圆的方程,【应试对策】1圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了，这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定a，b，r可以根据条件，利用待定系数法来求出当二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0具有以下条件时，它才表示圆：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即AC0；(2)没有xy项，即B0；(3)D2E24AF0.条件(3)通过将方程两边同除以A或C并配方不难得出,2一般来说，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程圆的一般方程中要加限制条件D2E24F0.用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程；(3)解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，代入所设方程，就得到要求的方程,3根据条件选择圆方程的适当形式，并会利用待定系数法进行圆的方程的求解，同时，解答圆的问题时应注意数形结合，充分运用圆的平面几何性质，简化计算,【知识拓展】1圆系方程(1)同心圆系：圆心为(x0，y0)的圆系方程为：(xx0)2(yy0)2r2(r0)(2)过两圆C1：x2y2D1xE1yF10及C2：x2y2D2xE2yF20的公共点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0其中若1，则此方程表示过两圆C1与C2的交点的圆；当1，则此方程表示过两圆C1与C2交点的直线,(3)过直线l：AxByC0与圆C：x2y2DxEyF0的交点的圆系方程为：x2y2DxEyF(AxByC)0.利用圆系可以站在较高的角度来把握有些问题,1圆的标准方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)叫做以点为圆心，为半径的圆的标准方程2圆的一般方程方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫做其圆心为，半径为.,(a，b),圆的一般方程,r,3确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)；(2)；(3),根据题意，选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程,探究：用待定系数法求圆的方程，如何根据已知条件选择圆的方程？提示：当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式，对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析,4点与圆的位置关系点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系：(1)当(x0a)2(y0b)2r2时，则；(2)当(x0a)2(y0b)2r2时，则；(3)当(x0a)2(y0b)2r2时，则,点P在圆外,点P在圆上,点P在圆内,1已知A(4，5)、B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_解析：所求圆的圆心是(1，3)，半径是.圆的方程是(x1)2(y3)229.答案：(x1)2(y3)229,2点P(5a1,12a)在圆(x1)2y21的内部，则a的取值范围是_解析：P在圆的内部，P到圆心的距离小于半径，1.a.答案：4或k4或k0)，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值,【例1】求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程思路点拨：因题中涉及圆心及切线，故设标准形式解题较简单解：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为，r2()2()2，,即2r2(ab)214由于所求的圆与x轴相切，r2b2又因为所求圆心在直线3xy0上，3ab0联立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.,变式1：根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x3y10上；(2)已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程,解：(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：，即xy10.解方程组，得圆心C的坐标为(4，3)又圆的半径r|OC|5，以所求圆的方程为(x4)2(y3)225.,(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0将P、Q点的坐标分别代入得令中的x0，得y2EyF0由已知|y1y2|4，其中y1、y2是方程的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48解组成的方程组得D2，E0，F12或D10，E8，F4，故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210 x8y40.,1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为直线在y(或x)轴上的截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题2特别要注意下面两个代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)连线的直线斜率，表示点(x，y)与原点(0,0)的距离,【例2】已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值,解：原方程化为(x2)2y23，表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，(1)设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解之得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.,(3)x2y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.,变式2：已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值解：(1)圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离为dP点到直线3x4y120的距离的最大值为dr1，最小值为dr1.,(2)设tx2y，则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点，1.2t2，tmax2，tmin2.故x2y的最大值为2，最小值为2.(3)设k，则直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点，,求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的几何特征，借助图形，寻找动点满足的几何条件【例3】(2010山东烟台模拟)过点A(a,0)引圆x2y2a2的弦交圆于P1点，求弦P1A的中点M的轨迹方程思路点拨：有关弦的中点问题，大多利用中点与圆心连线垂直于弦的性质解决,解：如右图，M是弦AP1的中点，OMAM，M在以OA为直径的圆上，其圆心为，半径为，设M的坐标为(x，y)，则M满足2y2.M在圆x2y2a2的内部，xa，故弦P1A的中点M的轨迹方程为2y2(xa),变式3：由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB60，则动点P的轨迹方程为_解析：由题意可知，OA1，APB60APO30，则PO2，设P(x，y)，则2x2y24.答案：x2y24,【规律方法总结】1求一个圆的方程需要三个独立的条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握，如果由已知条件易求圆心坐标、半径或需要圆心坐标列方程，常选用圆的标准方程；如果所求圆与圆心、半径关系不密切时(如已知圆过三点等条件)，常选用圆的一般方程2与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法(如直接法、定义法、转移法等)，有时还需要结合其他方法，如交轨法、消参法,3处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.,【例4】求圆心在直线5x3y8上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程【错因分析】本题可以设出圆心坐标、圆的半径，通过建立方程组解决圆与两坐标轴相切实际上是给出了圆心和半径所满足的两个几何条件，即圆心到坐标轴的距离等于圆的半径并且圆心的纵横坐标的绝对值相等，本题容易出错的地方就是把这个条件理解错，以为只要圆心的纵横坐标相等即可，这样就漏掉了一个解,【答题模板】解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.圆与两坐标轴相切，ab，r|a|.又圆心(a，b)在直线5x3y8上，5a3b8，,所求圆的方程为：(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.,【状元笔记】确定圆的要素是圆心和半径，求圆的方程时只要把圆心和半径求出来即可，一般是根据题目给出的已知条件通过联立关于圆心坐标和半径的方程组解决解题时注意把几何条件转化为方程组时要准确无误，几何条件和代数方程要等价，在列出方程组后，解方程组要准确，防止计算结果出错.,1已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程分析：方法一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数法解决方法二：直接利用结论写出圆的方程,解：解法一：设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a5，b6.又由两点间的距离公式得r|CP1|，所求圆的方程为(x5)2(y6)210.解法二：以P1P2为直径的圆的方程为(x4)(x6)(y9)(y3)0，即(x5)2(y6)210.,2已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示圆(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程分析：(1)已知方程是圆，则满足D2E24F0，利用此不等式可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围；(2)利用公式求出半径r，再利用二次函数求出r的取值范围；(3)利用圆心的公式求出圆心的坐标，再消去参数m，即得圆心的轨迹方程,解：(1)由D2E24F0即4(m3)24(14m2)24(16m49)0，所以m1.(3)设圆心C(x，y)，则有消去m可得y4(x3)21，因为m1，所以x4，故所求的轨迹方程为y4(x3)21.,
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