资源描述
电大小抄电大微积分初步考试小抄一、填空题函数 的定义域是xf51)(（，5）5 0 5 1 xsinlm，x 01x时 ，已知 ，则 = xf2)()(f2ln）（若 ，则cFdfd)3C)3(21微分方程 的阶数是 三阶 yxyxesin)(4 y6.函数 的定义域是（-2，-1）U（-)2l(1)f1，) 12-1ln)2(lx0n2 xx ， 1- |且7. 2xsilm0sinli0xx 21:2sinlm0x8.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = y-6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , 62184y3xx（把 0 带入 X）,6)0(9. xde22或)()(ff）（ dxfxf)()(10.微分方程 的特解为 y=e x . 10,yydx yd1两 边 积 分又 y(0)=1 (x=0 , y=1)ecln010c，11.函数 的定义域是24)l()xxf2,-， 12ln)l(-0)(ln4x 12.若函数 ,在 处连续，0,3sin)(kf x则 1k( 在 处连续) )(lim00xffxf0f)（无穷小113sin0lim)13sin(0limxxx量 x 有界函数）13.曲线 在点 处的切线方程是y),(2， x1x21切ky| 21y)1(2xx方 程14. sin x+csd)in(15.微分方程 的阶数为 三阶 ysin45316.函数 的定义域是（2,3）)2l()xfU（3，） 3x2|12)ln(0)ln(且 xx17. 1/2silm18.已知 ，则 = 27+27ln3xf)(3)(fln2xf 3ln2719. = ex2+c d电大小抄20.微分方程 的阶数为 四阶 xyxysin4)(7)(3二、单项选择题设函数 ，则该函数是（偶函数）2e函数所 以 是 偶 函 数)()(xfxf的间断点是（ ）分母2322,1x无意义的点是间断点 03下列结论中（ 在 处不连续，则一定在)(xf处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；0x极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式 ，则 （ cxf11ed)( )(xf）21x)()1()(,u),()()( 11 xexeyfFCf uxx， 令2212)()(xfxefu下列微分方程中，（ ）是线性微ysin分方程 6.设函数 ，则该函数是（奇函数）2exy7.当 （2 ）时，函数 在k0,2)(xkf处连续.0x8.下列函数在指定区间 上单调减少的是（(,)） 39.以下等式正确的是（ ）3lndxx10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）yxd11.设 ，则 （ ）1)(2f )(xf)2(12.若函数 f (x)在点 x0处可导，则(，但 )是错误的 Axlim0 0f13.函数 在区间 是（先减后增）2)1(y,(14. ( ）xfdcxff)15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）y16.下列函数中为奇函数是（ ）)1ln(2x17.当 （ ）时，函数 在k20,e)kf处连续.0x18.函数 在区间 是（先单调下降再单12y)2,(调上升）19.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3）20.微分方程 的特解为（ ）1)0(, xye三、计算题计算极限 423lim2x解: 41)(li)(1li22 x）设 ，求 .yxeyd解： x23212- x1，u= -2xu(-2x)=e u（-2）)(1ey= -2e-2xy= -2e -2x+ x213dy=(-2e -2x+ )dx计算不定积分 xdsin解：令 u= ,u=21x21 du 2du= =2(-cos)+csinusin电大小抄= -2cos cx计算定积分 xde210u=x，v=e x,v= ex vdx=uv10uvu-10|1)(01|exddxx原式=25.计算极限 952lim3x34li)(lix6.设 ，求ycosnyd解： xxcoslnl221y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx xucosi)sin(1ly1= xcosin23dy=( )dx17.计算不定积分 xd)2(9解： 9令 u=1-2x , u= -2 duxdu21ccu20192)(10998.计算定积分 xde0解：u=x, v， )()(1010|xddxxx= 1|ex9.计算极限 4586lim24x321li)(1li4xx10.设 ，求yxsnydy1=sin3x y1=sinu , u=3x , co3iu ）（）（y=2 xln2+3cos3x dy=(2 xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 dsu=x , v=cosx , v=sinxdcoscxx)os(ini12.计算定积分 xdln51e令 u=lnx, u= , eeeedxxd11e11ln5ll| x1du= dx , 1xe 0lnx1x 21ln|0101 ude原式=1+5 =2713.计算极限 63limxx解： 51li)(1li22 x14.设 ，求xyey解： x12( ) , , , x1u1)eeyxuu 2121(电大小抄exex121x1x2x2)()y15.计算不定积分 d10解： u=2x-1 , =2 du=2dx10 cduux1221010)(）（ 116.计算定积分 0ex解： u=x , , dx10 xvex)(10|ex四、应用题（本题 16 分）用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖3m水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为 x，高为 h,表面积为 s，且有 h=x24所以 S(x)=x2+4xh=x2+16xS216令 （x）=0，得 x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1 时水箱的表面积最小。此时的费用为 S（2）10+40=160 元欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为 x，S=216 另一边长为 216/x总材料 y=2x+3216/x=2x + 648y=2+648(x -1)=2+648(-1)=2 - x2648y=0 得 2 = x 2=324 x=18一边长为 18，一边长为 12 时，用料最省.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为 a 底面积为 a2a2h=v=32 h= 3表面积为 a2+4ah= a2+4a = a2+18y= a2+ , y=2a+128( - )=2a-182y=0 得 2a= a 3=64 a=4a218底面边长为 4， h= =26设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为 x ，另一边为 60-x以 AD 为轴转一周得圆柱，底面半径 x，高 60-xV= 32260)(v221360得： 4xx矩形一边长为 40 ，另一边长为 20 时，V max电大小抄作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1.函数 )ln(1xf的定义域是 答案：,3),22函数 f5的定义域是 答案：),(3.函数 24)ln(1)xxf的定义域是 答案： 2,()1, 4.函数 7(xf，则 f 答案：625函数 0e)2xf，则 )( 答案： 2 6函数 1(，则 xf 答案： 2x7函数 32xy的间断点是 答案： 8. x1sinlm 答案： 1 9若 2i40k，则 答案： 2 10若 3snl0x，则 k 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数 ey，则该函数是（ ） 答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数 xsin2，则该函数是（ ） 答案：AA奇函数 B 偶函数C 非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数 2)(xxf的图形是关于（）对称答案：DA y B 轴C y轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（ C ） A xsin B xl C )1ln(2x D 2 5函数 )5l(41y的定义域为（ ） 答案：DA x B x C 5x且 0 D 且 6函数 )1ln()xf的定义域是（ ） 答案：DA ,1( B ),1(),0C20D 2(, 7设 )2f，则 f（ ）答案：CA (x B x C )x D18下列各函数对中， （ ）中的两个函数相等答案：DA 2)(f， g( B 2)(f，xg)(C ln， xln D 3lnx39当 0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A x1 B xsi C )1l( D 2x 10当 k（ ）时，函数 0,1)(2xkxf，在0处连续 . 答案：BA 0 B1 C D 11当 k（ ）时，函数 0,2)(xkexfx在处连续 答案：DA 0 B1 C 2 D 3 12函数 3)(xf的间断点是（ ）答案：AA ,x B C2D无间断点三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限 423lim2x 解 412lim)(1lili22 xxxx2计算极限 651x 电大小抄解 2716lim)(16li15lim21 xxxx3. 39 解：原式 233lili.11xx4计算极限 4586lim24x 解 321lim)(2lili 4424 xxxx5计算极限 6582x 解 234li)2(34li6lim22 xxxx6.计算极限 x1li0 解 )1(1li0 xxx 2lim)(0xx7计算极限 x4sin1l0 解 0 01limli .8sx xx8计算极限 24sinlm0x解 0 0i 42l li16.x x 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1曲线 1)(xf在 ),(点的斜率是 答案：2曲线 xfe)(在 ),0(点的切线方程是 答案： 1y 3曲线 2在点 ),(处的切线方程是 答案： 3x 4 )( 答案： x2ln或1ln2x5若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 y(0) = 答案：66已知 f3)，则 )(f= 答案：ln(277已知 xl，则 = 答案：2x8若 xfe)(，则 )0(f 答案：29函数 yx312()的单调增加区间是 答案：),(10函数 af在区间 ),0(内单调增加，则a 应满足 答案： 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1函数 )1(xy在区间 ),(是（ ） 答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程 0f的点一定是函数 )(xfy的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若 xxfcose)(，则 )(f=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设 ylg，则 dy（ ） 答案：B A x B xln0 C ln0xd D1d5设 )(fy是可微函数，则 )2(cosdf（ ） 答案：D A x)2cos Bxfin2cosC xdin D ( 6曲线 1ey在 处切线的斜率是（ ） 答案：C A 4 B 2 C 4e D 27若 xfcos)(，则 )(f（ ） 答案：C A ins BxcoC xcossin Di2电大小抄8若 3sin)(axf，其中 是常数，则 )(xf（ ） 答案 C A 2co B x6si C sin D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A)(xf在 0处连续，则一定在 0处可微. B )(xf在处不连续，则一定在 x处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若 在 a，b内恒有 )(f，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( )是错误的 答案：B A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B Axf)(lim0，但0C函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 11下列函数在指定区间 ,上单调增加的是（ ） 答案：BA sinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax 0 是 f (x)的极值点，且 f(x0)存在，则必有 f(x0) = 0 B x0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x)的驻点C若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 D使 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）1 设 xy12e，求 y 解 )1(2)1(2)()( 21 xexexxx xxee11)2(2或 12xye2设 x3cos4sin，求 y.解 ins3设 yx1e，求 . 解 212e)1()( xxxx 4设 ycosln，求 y. 解 xcosin3)()(或 3ita2cos2x5设 )(y是由方程 4y确定的隐函数，求 d.解 对方程两边同时对 x 求微分，得022dyydx6设 )(是由方程 12x确定的隐函数，求 y. 解原方程可化为 xy， ,1,dyx7设 )(y是由方程 4e2yx确定的隐函数，求 yd.解：方程两边同时对 x求微分，得20xyeed2yexdxy.8设 1)cos(yx，求 解：方程两边同时对 求微分，得in0desinyxdxy一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1若 )(f的一个原函数为 2lnx，则 )(f 。 答案： x （ c 为任意常数）或 lxc 2若 )(f的一个原函数为 x2e，则 )(f 。 答案： xe21 或 4 3若 cfd，则 f 答案：xe或 x4若 f2sin)(，则 )(xf 答案： co2 或 c 5若 xfld，则 f答案： 1 6若 cxxf2os)(，则 )(xf 答案： cn4 电大小抄7 xde2 dxe2答案： dxe28 )(sin 答案： csin 9若 cFf)(，则 f)3( 答案： x321 10若 f)(d)(，则 xfd)1(2 答案： cxF122二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（ ） 答案：AA )(d)(xffx B)(fC )(d)(xff D )(f3若 cxf2ed，则 )(xf（ ）. 答案：AA. )1(e2x B. C. x2e D. 4若 )0(xf，则 fd)(（ ）. 答案：A A. cx B. cx2 C. 23D. 315以下计算正确的是（ ） 答案：AA 3lndxxB )1(d22x C D )lnx 6 xfd)(（ ）答案：AA. c B. cf)( C. f)(21 D. x1( 7 xad=（ ） 答案：C A B axdln2 C 2 D c 8如果等式 fxx11e)(，则 )(xf（） 答案 BA. 1 B. 2 C. D. 2三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1 xxdsin3 解 cxxos32ln)si3(或 3sinlcxdx2 )1(0 解 11222xc3 xd1sin2 解 cx1os)(sii24 xdin111co2s2in4dxc5 ex解 xx xdeece 四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形 ABCD的一边 x厘米，则60BCx厘米，当它沿直线 旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令 x 得 20x当 0,时， V；当 ,时， V.2是函数 的极大值点，也是最大值点.此时 64答：当矩形的边长分别为 20 厘米和 40 厘米时，才能使圆柱体的体积最大.)(3201602)0(2 立 方 厘 米V2欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 电大小抄2. 解：设成矩形有土地的宽为 x米，则长为 216x米，于是围墙的长度为 432,0L令 2430Lx得 1取 正易知，当 时， 取得唯一的极小值即最小值，此时 168x答：这块土地的长和宽分别为 18 米和 12 米时，才能使所用的建筑材料最省.五、证明题（本题 5 分）1 函数 xef)(在（ )0,是单调增加的1 0, ,0.xxxfe证 ： 当 时当 时从 而 函 数 在 区 间 是 单 调 增 加 的一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 ._d)cos(inx答案： 322 .45x答案： 或2 3已知曲线 )(fy在任意点 处切线的斜率为 x，且曲线过 )5,4(，则该曲线的方程是 。答案：32xy或3216yx4若 d)(1 答案：2 或 45由定积分的几何意义知， xad02= 。答案： 24a6 e1d)ln(dxx . 答案：0702= 答案： 21 8微分方程 )0(,y的特解为 . 答案：1或 xye9微分方程 3的通解为 . 答案：x3或 xc10微分方程 xysin4)(7)( 的阶数为 答案：2 或 4二、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） 答案：AA y = x2 + 3 By = x2 + 4 C 2xy D2若 10d)(k= 2，则 k =（ ） 答案：A A 1 B-1 C0 D 21 3下列定积分中积分值为 0 的是（ ） 答案：A A xxd2e1 B xxd2e1 C )cos(3 D )sin( 4设 xf是连续的奇函数，则定积分 axf-（ ） 答案：D5 dsin2-（ ） 答案：DA 0 B C 2 D 26下列无穷积分收敛的是（ ） 答案：BA 0dexB 0dexC1D 1 7下列无穷积分收敛的是（ ） 答案：BA 0dinxsB 02dexC 1 D 1x8下列微分方程中， （ ）是线性微分方程答案：D A yyxln2 B xye2C e Dxlsi9微分方程 0的通解为（ ） 答案：C A xy B y C y D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ） 答案：B电大小抄A. yxd； B. yxd； C. sin； D. )(x三、计算题（每小题 7 分，共 56 分）1 xxd)e(22ln0解 2ln03x2ln0l )1()e()1(xxx 9)(3)()1(3332ln e或 l ln200 11xxxdee2 5e1解 217lnl5ln10exxx3 exd10解 利用分部积分法 vxuvu111000 1x xeedee4 2sin0 0cocs4in2xxd5 20dsinx220 0coscossin1xdx6求微分方程 1xy满足初始条件 47)(y的特解 21,PQx112lnln342 1 PxdPxdxxxxyeeceedcxc通 解即通解 31yx7求微分方程 x2sin的通解。 1,iPQx11lnln 2si 1si co2PxdPxdx xx xyeQeceedcxx通 解即通解为 sy.四、证明题（本题 4 分）证明等式 aa xffxf0)()(dd。0000 aaaaaffxdxdff证 ： 左 边 右 边微积分初步一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）函数 的定义域是 xf51)()5,( 1 xsinlm已知 ，则 = f2)()(f2lnx若 ，则 cFdd3cF)(1电大小抄微分方程 的阶数是3yxyxesin)(4函数 的定义域是2l1f ),1(,2 2 xsinlm0 de2x微分方程 的特解为 .1)0(,yxye函数 ，则 f(2)(f12曲线 在点 处的切线方程是 , 若 ，则 cxfsind)xfin4s微分方程 的阶数为 5 yyo4(7)5(3函数 的定义域是 21f)2,若 xsiCcs6. 函数 ，则 x2 -2 )(f )(f7 . 若函数 ,在 处连续，则 1 0,13inxkk8. 曲线 在点 处的切线斜率是 xy)(219. d2cos(in1310. 微分方程 的阶数为 5 xysin4)65）（6. 函数 ，则 x2 + 1 xf )(f9. sinx + csi(函数 的定义域 是 )2ln(1f ,函数 的间断 点是 3xy1x曲线 在 点的斜率是 )(f),0(2若 ，则 = c2osdfcos4微分方程 的阶 数是20)(3yx函数 ，则 f12)(xf1函数 在 处连续，则 =2,sinkk 4 xd)53(1微分方程 的阶数是2 0si(3y3函数 的定义域是)lnxf 2,1(),4函数 ， 则 712x(f62x5函数 ，则 0e(f2 )06. 函数 ，则 xf2)(f127函数 的间断点 是13y9若 ，则 2 sin4lm0kx10若 ，则1曲线 在 点的斜率是1)(f),(21)(fk2曲线 在 点的切线方程是xe0xy3曲线 在点 处的切线方程是 即：2y),( )(4 )(xx2ln15若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = 6 y6已知 ，则 f3)(f3l77已知 ，则 l218若 ，则 xfe(0f9函数 的单调增加区间是yx312(),110函数 在区间 内单调增加，则 a 应满足af),0(01 若 的一个原函数为 ，则)(2lnxf2lnc2 若 的一个原函数为 ，则xfe)(24xe3若 ，则 cxd1x4若 ，则 =si)(fos5若 ，则 fln)(6若 ，则cx2o)(xf4c2x7 8xde2dsinsi9若 ，则Ff )3(1F10若 ，则)(f221. 2cos(in1xx2 2 d)453已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲(fyx线过 ，则该曲线的方程是),( 312y4若 4 dx25135由定积分的几何意义知， xad0246 0 7 = e12)ln(dxe018微分方程 的特解为 1(,yxy9微分方程 的通 解为 3c310微分方程 的阶数为 4 阶 xsin4)7)(二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）电大小抄设函数 ，则该函数是（B）2exyA 奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数设函数 ，则该函数是（A）exyA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列结论中（ C ）正确 A 在 处连续，则一定在 处可微.)(xf00xB函数的极值点一定发生在其驻点上. C 在 处不连续，则一定在 处不可导. D函数的极值点一定发生在不 可导点上.如果等式 ， 则 （ D ）cxf1ed)()(xfA. B. 12C. D. 下列函数在指定区间 上单调减少的是（D ） (,)A B xsinxeC D23设函数 ，则该函数 是（B）yiA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列函数在指定区间 上单调减少的是（B） (,)A B C D xcos52xx 设 ，则 （C ）cflnd)(fA. B. lC. D. 21xx2l下列微分方程中，（A ）是 线性微分方程 A B yynesi xye2C D ln满足方程 的点一 定是函数 的（ C ）。0)(xf )(xfA极值点B最值点 C驻点 D 间断点微分方程 的通解 是（B）1yA. ； B. ； C. ； D.exexyxy21函数 的 定义域是（D ） f5)2ln(A（2，+） B（2，5C（2，3）（3，5） D（2，3）（3，5下列函数在指定区间（-，+ ）上单调减少的是（ B ）A B C Dxsin2xxe函数 的定义域 是（ C ） )l(fA（-2，+） B（-1，+）C（-2，-1）（-1，+） D（-1，0）（0，+）下列微分方程中为可分离变量方程的是（C ） A. ； B. yxd)(xyC. ； D. sin2、若函数 ，则 （A ）.f2i)()(lm0fxA B 0 C1 D不存在下列无穷积分收敛的是（B）A B0dinxs02exC D11微分方程 的通解是（D）yA. B. cx2c2C. D.eex函数 的定义域（D）312A B 2x1xC 且 0D 且若函数 ，则 （C ）.fsin)()(lmfxA 0 B C 1 D不存在2函数 在区间 是（C ）74y)5,(A单调增加 B单调减少 C先减后增 D先增后减下列无穷积分收敛的是（A）A B C D12dx13dx1x1dx下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B）A. B. yesinC. i2设函数 ，则该函 数是（ A）x2A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数 的图形 是关于（ D）对称2)(xfA B 轴C 轴 D坐标原点yy4下列函数中为奇函数是(C)A B C Dxsinxln)1l(2x25函数 的定义域为（ D ）)5(41yA B C 且 D 且x0x46函数 的定义域（D）)1ln(fA B,),(C D2)(27设 ，则 （ C ） xff电大小抄A B C D )1(x2x)()1(2x8下列各函数对中，（D）中的两个函数相等A ， fg)(B ， 2)(C ， lnxxlnD ，3f)(9当 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ） 0A B C Dx1si)1l(2x10当 （B）时，函数 ，在 处连续.k0,2kxfA 0 B1 C D 11当 （D）时，函数 在 处连续.,)(efxA 0 B1 C2 D 3 12函数 的间断点是（ A ）)(xfA B C D无间断,x 3,21x点1函数 在区间 是（ D ）2)1(y),(A单调增加B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程 的点一定是函数 的（ C 0)(xf )(xfy）.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若 ，则 =（C ） xfcose)()(fA . 2 B. 1 C. -1 D. -24设 ，则 （B ） ylgdyA B C Dxln0ln10xdx5设 是可微函数，则 （ D ） )(f )(cosfA B xfd)2(cos xfd2sin)(coC Din6曲线 在 处切线的斜率是（ C ） 1eyA B C D424e7若 ，则 （ C ） xfcs)()(fA BioxsincoC D n8若 ，其中 是常数，则 （ C 3)(af)(f） A B C D2csxx6sixsio9下列结论中（ B ）不正确 A 在 处连续，则 一定在 处可微. )(f00B 在 处不连续， 则一定在 处不可导. xxC可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若 在a，b 内恒有 ，则在a ，b内函数是单调下)(f)(xf降的.10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Axf(lim00C函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 11下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） (,)Asin x Be x Cx 2 D3 - x12.下列结论正确的有（A ） A x0 是 f (x)的极值点，且 (x0)存在，则必有 (x0) = 0 ffBx 0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x)的驻点C若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 D使 不存在的点 x0，一 定是 f (x)的极值点1下列等式成立的是（ A）A B)(dxffx )(d)(xffC D)(2若 ，则 （ A ）.cfx2efA. B. C. D. 1ex x2ex2e3若 ，则 （ A ）.)0()(d)(A. B. cx2C. x32D. 14以下计算正确的是（ A ）A B3lndx)1(d2xC D l5 （ A ）xf)(A. B. cfcxf)(C. 21D. f)(6 =（ C ） xadA B C Dxadln2xd2c27如果等式 ，则 （ B ）fxx11e)()(fA. B. x2C. D. 1在切线斜率为 2x 的积分曲线 族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ）电大小抄A y = x2 + 3 By = x 2 + 4 C D2xy12若 = 2，则 k = （ A ） 0d)(A1 B-1 C0 D 13下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A B Cxd2e1 xd2e1D )cos(3 )sin(4设 是连续的奇函数，则定积分 （ D ）f af-(A B C D 00-d)(2ax0-d)(axfx0d)5 （ D ）sin2-A 0 B C D26下列无穷积分收敛的是（B ）A B0dex0dexC D 117下列无穷积分收敛的是（B ）A B0dinxs02dexC D118下列微分方程中，（D）是线 性微分方程 A B yyxln2 xye2C Dexxsi9微分方程 的通解为（ C ） 0A B C DCxyxyy010下列微分方程中为可分离变 量方程的是（B ）A. ；B. ； xdxC. D. ysin)(yD. ta三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）设 ，求 .x2ed解： 213yx)(d计算不定积分 dsin解： = xi Cxcos22计算定积分 e10解： xd22e10计算极限 95lim3x解： 24)(li3x设 ，求 .xycoslnyd解： xtan23i121d)ta(计算不定积分 xd)21(9解： =x(9计算极限 c10)()-21 623lim2xx解： 63limxx5li)(22设 ，求 .xycosyd解： ln1ixx)2l(d设 ，求 .y3cos5iny解： )in(2i计算不定积分 解： = xd1xd)1(2计算定积分 Cx32)()( 0sin解： 0sin11. 计算极限2si1dco210x9152lim3x解： 95lim3x2. 设 ，求34li)(xx ycosyd解： ， ， ycos2xsin21dd)in3(12. 设 ，求xsly电大小抄解： =xxy1cos)(1cos2 ydddx(213. 计算不定积分 xs解： =d1cos2 cx1sin)(14. 计算定积分 解： = e1lned1l 计算极)(4ln2212xxe限 3im解 设 ，21lim)(lil121 xx xycosln23求 .y解: sinco32ta33计算不定积分 xde5解 计算极限cxx2)(e286lim1x解 32)1(4li)(li22xx 设 ，求 . y3n5cosy解 计算定积分2ln5silil解 20dx20dcox计算极限 12cosdinsi020xx 423lim2x解： 43lmli)(1i22xx2计算极限 65解： li21x271li)(x3 39lim2x解： 2461li)(li33xx4计算极限 5824解： lix31lim)(144x5计算极限 6582x解： li23li)(2xx6计算极限 1m0解： xli )(li)(100xx21lim0x7计算极限 4sin解： xxli0)1(si8计算极限 4inlm)inl00xxx 24sinlm0x解： 2s)(il0xx设 ，求 16)24(lim)24(sinl00 sxx xy12ey解： xeey1 )(2设 ，求 . 3cosiy解： xin423设 ，求 . y1e解： 22x4设 ，求 . coslny解： xyta3i35设 是由方程 确定的隐函数，求)(x42.d电大小抄解：两边微分： 0)(2xdyyxdy226设 是由方程 确定的隐函数，求)(12. d解：两边对 求导，得：2xy，0)(2yx 0yx， )(dd7设 是由方程 确定的隐函数，4e2yx求 .d解：两边微分，得： xd，xeyxyx)(dxeyy8设 ，求 1)cos解：两边对 求导，y得： 0)in(e)inxyssey)sin(yxyddy)i(1 xsn3解： iddxscxos32l2 )1(0解： cxdx1010)2(cx1)(3 xd1sin2解：i2cx1os)(sin4 xd解： 2i)cos(1cosxcx2sin41c25 xed解：1 cexxx)( xxd)e(22ln0解： d1e22ln0398)ln0lxx2 l5e1解： xdee x11 )ln5(ln)(3 260522 exd10解： xed104 1)(10e0sinx解： 02sin002cos)(2sinxdxdx002cos)(5 4si)(cos400 2sinx解: 2dinx)cos(os200xd1i206求微分方程 满足初始条件 的特解1y47)(y解：通解为 ， ，)()( ceqedxpdxp x，代入 ， 代)(2xq)24y1(入得 。即：特解为1c1(x7求微分方程 的通解。xsin解：通解为 ， ，)()( cdeqeyxpdp 1)(，代入得通解为xq2si)( 2osy四、应用题（本题 16 分）1、用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖水箱，已知3m钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长 ，高 ，表面积 ，且xhS2xh,16)(22S令 ，得 ， 16 0)(所以，当 时水箱的面积最小. 最低总费,hx（元）40)(电大小抄3、欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，xhy由已知 22108,hxy434令 ，解得 是唯一驻点， 32 6x所以 是函数的极小值点，即当 ， 时用料6x 36108h最省. 5. 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 h，用材料为 y，由已x2x得 ，则 令23hxy183242，解得 x = 4 是唯一驻点，易知 x = 4 是函数018xy的极小值点，此时有 = 2，所以当 x = 4，h = 2 时用料最省。6、欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 ，容器的表面积为 ，xhy由已知 ， ，5.2h2.6，令 ，得xy0425xy0是唯一驻点即有 ，所以当 ， 时用料最省.52 .h1.设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设长为 厘米，另一边长为 厘米，xx60得：
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