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电大资料一、单项选择题1.若 ，则 （ ）1012=a2乘积矩阵 中元素 （10 ）1534=23c设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是AB,n）()11设 均为 阶方阵， 且 ，则下列等式正确,k0的是（D）D. An()下列结论正确的是（A. 若 是正交矩阵则 也是正交矩阵）1矩阵 的伴随矩阵为（C. ）1325532方阵 可逆的充分必要条件是（ ）AA0设 均为 阶可逆矩阵，则 （DBC,n()CB1）D. ()11设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A,）A. ()BB22用消元法得 的解 为（C. xx132410x123）,2线性方程组 （有唯一解） xx12364向量组 的秩为（3）0120,设向量组为 ，则（1,0,1,04321）是极大无关组123, 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，A若这个方程组无解，则 D. 秩 秩()A若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能无解 以下结论正确的是（D） D. 齐次线性方程组一定有解若向量组 线性相关，则向量组内（A）12, s可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 9设 A，为 阶矩阵， 既是又是的特征值， 既是nx又是的属于 的特征向量，则结论（A）成立 是 AB 的特征值 10设，为 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 BP1 为两个事件，则（B）成立 B.,()A如果（C）成立，则事件 与 互为对立事件AC. 且 U10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D. ）3072.4. 对于事件 ，命题（C）是正确的B,C. 如果 对立，则 对立,某随机试验的成功率为 ,则在 3 次重复试验中至少)1(p失败 1 次的概率为（D. )1(23p6.设随机变量 ，且Xn,，则参数 与 分别是（6, ED().,().48096n0.8）7.设 为连续型随机变量 的密度函数，则对任意的fx， （A） A. ab,()(xf()d8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）B. fx()sin,02其 它9.设连续型随机变量 的密度函数为 ，分布函数为 ，Xfx()Fx()则对任意的区间 ，则 (,)abbPD. ） fxab)d10.设 为随机变量， ，当（C）EDX(),()2时，有 C. Y(),01Y1.A 是 矩阵，B 是 矩阵，当 C 为（ B 3452）矩阵时，乘积 有意义。2A2.设 A,B 是 n 阶方阵，则下列命题正确的是（ A ）A3设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是,（A ）B（ D ）154.77543电大资料5若 是对称矩阵，则等式（B. ）成AA立 6方程组 相容的充分必要条件是( 31221axB )，其中 ， 0321a0i7. n 元线性方程组 AX=b 有接的充分必要条件是（ A r(A)=r(A b) ）128. ,4A若 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 则 当=( D )时有无穷多解。129. 若（ A 秩（A）=n ）成立时，n 元线性方程组 AX=0 有唯一解10.向量组 的秩是（ B 3 ）10237， ， ，11. 向量组 , , ,1（ ） 21（ ） 320（ ）的极大线性无关组是（ A 4,23（ ） 4， ，） 12下列命题中不正确的是（ DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 ）13若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是B（A ）14设 是来自正态总体 的样本，nx,21 )1,5(N则检验假设 采用统计量 U =（C 5:0Hnx/）15. 若条件（C. 且 ）成AB立，则随机事件 ， 互为对立事件 16. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和是 4”的概率（ C ）1217. 袋中有 3 个红球 2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ D ）9518对来自正态总体 （ 未知）XN(,)2的一个样本 ，记 ，则下列123, 31ii各式中（ C. ）不是统计量 12)(ii19. 对单个正态总体 的假设检验问题中，2(,)NT 检验法解决的问题是（ B 未知方差，检验均值）设 是来自正态总体 （ 均xn12, (,)2,2未知）的样本，则（ ）是统计量x1设 是来自正态总体 （ 均未知）123, N,2,2的样本，则统计量（D）不是 的无偏估计D. x123 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若 为 矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，A34B25ACB则 为 54 矩阵C4.二阶矩阵 101设 ，则AB2432034, ()AB8156设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 , 3272 设 均为 3 阶矩阵，且 ，则AB,AB1,3 312()若 为正交矩阵，则 0 a0a矩阵 的秩为 2 。34设 是两个可逆矩阵，则A12,O212A当 时，齐次线性方程组 有非零x120解向量组 线性 相关 120,向量组 的秩是 32310,设齐次线性方程组 的系数行列3xx式 ，则这个方程组有 无穷多 解，且系数123电大资料列向量 是线性 相关 的123,向量组 的极大线23010,性无关组是 21向量组 的秩与矩阵 的秩 , s12, s相同 设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ，则AX0()A3其基础解系中线性无关的解向量有 个设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且b0的基础解系为 ，则 的通解为12,Xb210Xk9若 是的特征值，则 是方程 的0AI根10若矩阵满足 ，则称为正交矩阵A1从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2/5.2.已知 ，则当事件 互不相容时，PB().,().05AB,0.8 ， 0.3 AP3. 为两个事件，且 ，则 ,()P4. 已知 ，p()(),则 15. 若事件 相互独立，且 ，则B,ABq(,()PA()pq6. 已知 ，则当事件 相互独立P.,).035时， 0.65 ， 0.3 ()7.设随机变量 ，则 的分布函数XU(1XFx()1x8.若 ，则 6 B(,.)203E()9.若 ，则 XNPX)3)(210. 称为二维随机变量EY的 协方差 (,)1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4设 是来自正态总体 （ 已知）xn12, N(,)2的样本值，按给定的显著性水平 检验，需选取统计量 H010:;:nxU/05. 假设检验中的显著性水平 为事件 （u 为临界|0值）发生的概率。1设 ，则 的根是214AxA1， -1， 2，-2 2设 均为 3 阶方阵， ，则B, 6,3B83()A3. 设 均为 3 阶方阵， 则, 2,A=-18_.14. 设 均为 3 阶方阵， 则B, 3B=_-8_.12A5设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（A ）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量6设 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量，使得 ，则称 为 相应于特征值XAX的特征向量 7设 互不相容，且 ，则B,PA()00P()8. 0.3.8,().5,_.B9设随机变量 X B（n，p），则 E（X ）= np10若样本 来自总体 ，且x,21 )1,0(N，则 nix)10(N11设 来自总体 的一n,21 2(,)个样本，且 ，则 =ix1)Dn12若 ，则 0.35.0(,8.0)(BAP)(ABP13如果随机变量 的期望 ，X2)E，那么 2092XE)214. 设 X 为随机变量，且 D(X)=3,则 D(3X-2)=_2715不含未知参数的样本函数称为统计量16. 若 则 a=_0.3_01.25a:电大资料17. 设 是 的一个无偏估计，则_ .()E三、计算题设 ，求ABC1235143541, ； ； ； ； ； ABA()BC答案： 81040673162265BA1237805)(设 ，求 201,10CACB解： 14603124)(CBA已知 ，求满足方程 中的 1,431032AXB解： 2AXB25174517238)3(1写出 4 阶行列式 0143625中元素 的代数余子式，并求其值a412,答案： 0356)(14 453061)(2442a用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：电大资料 ； ； 12123410601解：（1） 912019120301 12039061021360121| 23132 3231291 rr rrIA9121A（2） (过程略) (3) 3514207761 101A求矩阵 的秩020131解： 0011 0101120002343 424132r rr 3)(AR1用消元法解线性方程组 xx23412346385124解： 26109378418431005176223140586 41324132 5rrA电大资料 31046521365048712913650287149 4321343 579121 rrr方程组解为 3102310434214 51 rr 324x设有线性方程组 112xyz为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解： 2 32222 )1()1(201 11032 31231 r rrA当 且 时， ，方程组有唯一解3AR当 时， ，方程组有无穷多解1)(判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式其中123,87102350631,解：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解321, 32xx这里 57104102376578,321A)(R方程组无解不能由向量 线性表出321,计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 123434789110963,电大资料解： 01823631490827131,321该向量组线性相关求齐次线性方程组 xx12341240553的一个基础解系解： 30714251034074053213 423141325 rrA 0014500124503214 23134321 rrr方程组的一般解为 令 ，得基础解系014352xx1310435求下列线性方程组的全部解 xx123412345135976解： 002871419561428028735116357095 42314132 5rrA方程组一般解为 00271214r 21794321xx令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解13kx241k2电大资料 021107921792124321 kkkx试证：任一维向量 都可由向量组4321,a， ， ，0120314线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明： 0101201231034任一维向量可唯一表示为)()()(1001 3423124321432 aaaaaa 4343232121 )()()(试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设 为含 个未知量的线性方程组BAXn该方程组有解，即 nAR)(从而 有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是0XnAR)(有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解BAX 0X9设 是可逆矩阵的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值11证明： 是可逆矩阵的特征值存在向量 ，使A 1111 )()()(AI1即 是矩阵 的特征值110用配方法将二次型 化为标准型43242124321 xxxxf 解： 3213242321 )()()(xxf )(x令 ， ， ，y42y3y4yx电大资料即 443231yx则将二次型化为标准型 2321yf1.设 为三个事件，试用 的运算分别表示下列事件：ABC, ABC, 中至少有一个发生； 中只有一个发生；, 中至多有一个发生； 中至少有两个发生；, 中不多于两个发生；ABC 中只有 发生,解:(1) (2) (3) CBACBA(4) (5) (6)2. 袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 红球解:设 =“2 球恰好同色”， =“2 球中至少有 1 红球”AB503)(53CP 0936)(2513CP3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出来的零件是正品的概率解：设 “第 i 道工序出正品”（i=1,2）iA9506.)3.1)(02.()|()(12121 PP4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解：设 1产 品 由 甲 厂 生 产 2产 品 由 乙 厂 生 产A3产 品 由 丙 厂 生 产A产 品 合 格B )|()|()|()( 21 BPBPPA865.0.85.039.505. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 ，求所需设计次数 的概率pX分布解： X)1(PP)(223kk1)()(故 X 的概率分布是 pppk12)()1()(3216.设随机变量 的概率分布为 02345650103. 试求 PXPX(),(),()4253电大资料解： 87.0123.015.)4()3()2()1()0()4( XPXPXP 22527.03137.设随机变量 具有概率密度 fxx(),0其 它试求 PX(),()1242解： 412010xdxf 65)()241( 1421441fXP8. 设 ，求 fxx,0其 它 EXD(),解： 322)()( 101dfXE4022 xxx18)(2)()ED9. 设 ，计算 ； 6.0,12NXPX.PX()0解： 8164.092.13.2).()3.13.()8.2.( P04759167()67.010.设 是独立同分布的随机变量，已知 ，设 ，求Xn12, EXD(),()112Xnii1ED()解： )()(1)(1)( 22 nni EXXE n )()(1)(1)() 2222 nni XDDDXD 2n1设对总体 得到一个容量为 10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值 和样本方差 xs2解： 6.310ix87.95)(22iixs2设总体 的概率密度函数为X电大资料fxx(;),10其 它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第 214 页例 3矩估计： ,12)1()(0 nixdxXE12最大似然估计：，0ln1ln,)1ln(l iinii xdLxL 1ln1iix3测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布 的，求 与 的估计值并在 ； 未知的情况N(,)2225.2下，分别求 的置信度为 0.95 的置信区间解： 105ix 87.1)(152iixs（1）当 时，由 10.95， 查表得：2. 97.0)(96.故所求置信区间为： ,3.18,nsx4设某产品的性能指标服从正态分布 ，从历史资料已知 ，抽查 10 个样品，求得均值N(,)24为 17，取显著性水平 ，问原假设 是否成立05.H0:解： ，37.16.4|/217|/|0nxU由 ，查表得：9.)(9.因为 1.96 ，所以拒绝237|05某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ ）05.解：由已知条件可求得： 0125.x6712s3.9.|8/9.2|/|0nsxT6),()5.,1(tt | T | 7）,(已知 ，(1)0.843， ) (2)0.970.87电大资料53)()(1)0.987.4130.57;27(2)7)1(12.28PX9-解 ： 5=7. 设随机变量 X N（3， ）求：（1）P（X 5）,（2）P（ ）,(已知 .2 1x(0.5)691， , ) ()0.84(.5)09()0.9.843;230(2)1)(1)()()()0.5.0.5.1.5.936247P -解 ： =8设随机变量 X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使 P（X a）=0.9 成立的常数 a (已知 ， ， ) 8.)19.)8.(973.0)(解：（1）P（1 X 7）= =3)21(P= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 )1(2（2）因为 P（X a）= = = 0.9)2a)(所以 ，a = 3 + = 5.56 8.18.9设 ，试求：(1) ；(2) N(,)4PX()1)75(XP（已知 ）97.03,972.0.0) 解：(1) PX()()1(21084357().(2) PXXPX() )()57532132().2190910从正态总体 N（ ，4）中抽取容量为 625 的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 的置信度为 99%的 x置信区间.(已知 )56.9.0u解：已知 ，n = 625，且 2nxu)1,0(N因为 = 2.5， ， ， x1.95.276.2106.576.221 nu所以置信度为 99%的 的置信区间为：. 72,94.,2121nuxx11某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信206.电大资料区间 (.).u097516解：由于已知 ，故选取样本函数2)1,0(NnxU已知 ，经计算得1.5x2.36.9滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件 ，故9,975.075.0uxux 96.175.0u此置信区间为 1.5,068.12. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度 ，今从这批砖中随机抽取 9 块，(32.,1)XN:测得抗断强度（单位： ）的平均值为 31.12，问这批转的抗断强度是否合格（2/gkcm）？0.975,u20.975:3.,1.(,1);3.2.531.2.5316,071/9HNu u解 ： 零 假 设 由 于 已 知 ， 故 选 取 样 本 函 数x-=/n由 样 本 观 测 值 计 算 统 计 量 值-/故 拒 绝 零 假 设 ， 即 认 为 这 批 砖 的 抗 断 强 度 不 合 格 。13. 某一批零件重量 ，随机抽取 4 个测量重量（单位：千克）为 14.7，(,.4)XN:15.1, 14.8, 15.2，可否认为这批零件的平均重量为 15 千克（ ）？0.975,16u20 0.975:15,0.(,);(14.812)4.9514.950. 6,2/HNu u解 ： 零 假 设 由 于 已 知 ， 故 选 取 样 本 函 数x-=/n由 样 本 观 测 值 计 算 统 计 量 值 :x=x-/故 接 受 零 假 设 ， 即 认 为 这 批 零 件 的 平 均 重 量 为 千 克 。14. 某钢厂生产了一批管材， 每根标准直径IOOmm ， 今对这批管材进行检验， 随机取出9根测得直径的平均值为9 9 . 9 mm，样本标准差s = O . 47 ， 已知管材直径服从正态分布， 问这批管材的质量是否合格? (检验显著性水平 = 0 . 05 , tO. 05(8)=2. 306) 200.5.:1, (1),/0.479.109, .16, .625,3/(8)2,6./ xHttnssxxnsntsn :解 ： 零 假 设 由 于 未 知 ， 故 选 取 样 本 函 数已 知 经 计 算 得由 已 知 条 件 ，故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的. 15X设 离 散 型 变 量 的 概 率 分 布 为电大资料X 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1求：（1）期望 E(X); (2) (2)PX()0.4.0.1;(2)()04.320.9E解 （ ）四、证明题1设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵BA,nBA证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知)(已知 是对称矩阵，故有 ，即, ,由此可知 也是对称矩阵，证毕BA2. 设 A 是 n 阶对称阵，试证 也是对称阵。1A11, )(,A -1证 明 ： 由 已 知 有 再 由 矩 阵 的 运 算 性 质 知 ， (所 以 也 是 对 称 阵 。3设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0)(I证明： 因为 ，即 )(2II2所以，A 为可逆矩阵 4设向量组 线性无关，令 ， ， ，证明向量组321,2132134线性无关。321,证明：设 ，即0321kk0)4()2()( 1332k2131 因为 线性无关，所以 321,04321k解得 k1=0, k2=0, k3=0，从而 线性无关 321,5设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立ABBA,证明： )(1)()()()( APPPP 所以 也相互独立证毕BA,6设 , 为随机事件，试证： AB()()证明：由事件的关系可知UABA(电大资料而 ，故由概率的性质可知()ABPABP()()7. 设 A,B 为随机事件，试证 P(A-B)=P(A)-P(AB) 证 明 ： 因 为 =U+=A+-B， 而 (A)B=， 故 由 概 率 性 质 知 ：()-(),即 ,证 毕 。
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