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标准仿真模拟练（一）(120分钟150分)第卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.条件甲:2x+y40xy3;条件乙:0x12y3,则甲是乙的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.乙可以得到甲,甲得不到乙.2.在复平面内,复数1-2i2+i对应的点的坐标为()A.(0,-1)B.(0,1)C.45,-35D.45,35【解析】选A.复数1-2i2+i=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5i5=-i,它在复平面内的对应点为(0,-1).3.从集合A=-3,-2,-1,1,2中随机选取一个数记为a,从集合B=-2,-1,2中随机选取一个数记为b,则直线y=ax+b不经过第三象限的概率为()A.45B.35C.25D.15【解析】选D.根据分步计数原理可知,试验包含的所有事件共有53=15 种结果,而满足条件的事件是a=-3,b=2,a=-2,b=2,a=-1,b=2共三种结果.由古典概型公式可得P=315=15.4.函数f(x)=log2x-1x的零点所在的区间为()A.0,12B.12,1C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.函数f(x)的定义域为(0,+),且函数f(x)在(0,+)上为增函数.f12=log212-112=-1-2=-30,f(1)=log21-11=0-10,f(3)=log23-131-13=230,即f(1)f(2)0,所以函数f(x)=log2x-1x的零点在区间(1,2)内.5.执行所示框图,若输入n=6,m=4,则输出的p等于()A.120B.240C.360D.720【解析】选C.第一次循环,得p=6-4+1=3,k=2;第二次循环,得p=3(6-4+2)=12,k=3;第三次循环,得p=12(6-4+3)=60,k=4;第四次循环,得p=60(6-4+4)=360,k=5,这时满足判断框条件,退出循环,输出p值为360.6.中国古代数学名著九章算术中记载:“今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD,ABFE,CDEF均为等腰梯形,ABCDEF, AB=6,CD=8,EF=10, EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A.110B.116C.118D.120【解析】选D.如图,过点A作APCD,AMEF,过点B作BQCD,BNEF,垂足分别为P,M,Q,N,连接PM,QN,将一侧的几何体补到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为12103=15.棱柱的高为8,体积V=158=120.7.已知an是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.等差数列的前n项和Sn=d2n2+a1-d2n可表示为过原点的抛物线,又因为本题中a1=-90,b0)的左焦点,点A为双曲线虚轴的一个顶点,过F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若FA=(2-1)AB,则此双曲线的离心率是()A.2B.3C.22D.5【解析】选A.过F,A的直线方程为y=bc(x+c),一条渐近线方程为y=bax,联立,解得交点Bacc-a,bcc-a,由FA=(2-1)AB,得c=(2-1)acc-a,c=2a,e=2.11.已知函数f(x)=|lg(-x)|,x0,x2-6x+4,x0,若函数F(x)=f2(x)-bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是()A.(-,-2)(2,+)B.(2,8)C.2,174D.(0,8)【解析】选C函数f(x)的图象如图所示:要使方程f2(x)-bf(x)+1=0有8个不同实数根,令f(x)=t,意味着0tf(0)(f(0) =4)且t有两个不同的值t1,t2,0t10或gb20,0b20(不论t如何变化都有图象恒过定点(0,1),所以只需g(4)0,求得b174,综上可得b2,174.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67【解析】选B.如图所示,在AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF=100+64-210845=36,所以|AF|=6,BFA=90,设F为椭圆的右焦点,连接BF,AF.根据对称性可得四边形AFBF是矩形.所以|BF|=6,|FF|=10,所以2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5,所以e=ca=57.第卷本卷包含必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.设U=R,集合A=x|x2+3x+2=0,B=x|x2+(m+1)x+m=0,若(UA)B=,则m=_.【解析】A=-2,-1,由(UA)B=,得BA,因为方程x2+(m+1)x+m=0的判别式=(m+1)2-4m=(m-1)20,所以B.所以B=-1或B=-2或B=-1,-2.若B=-1,则m=1;若B=-2,则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)(-2)=4,这两式不能同时成立,所以B-2;若B=-1,-2,则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1) (-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.所以m=1或2.答案:1或214.在ABC中,AB=1,AC=3,B=60,则cos C=_.【解析】因为ACAB,所以CB=60,又由正弦定理得1sinC=3sin60,所以sin C=13sin 60=36,所以cos C=336.答案:33615.已知函数f(x)=1x+2-m|x|有三个零点,则实数m的取值范围为_.【解析】函数f(x)有三个零点等价于方程1x+2=m|x|有且仅有三个实根.因为1x+2=m|x|1m=|x|(x+2),作函数y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知m应满足01m1.答案:(1,+)16.如图所示,放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:若-2x2,则函数y=f(x)是偶函数;对任意的xR,都有f(x+2)=f(x-2);函数y=f(x)在区间2,3上单调递减;函数y=f(x)在区间4,6上是减函数.其中判断正确的序号是_.(写出所有正确结论的序号)【解析】当-2x-1时,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,当-1x1时,P的轨迹是以B为圆心,半径为2的14圆,当1x2时,P的轨迹是以C为圆心,半径为1的14圆,当2x3时,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,所以函数的周期是4,因此最终构成的图象如图:根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,所以正确;由图象可知函数的周期是4,所以正确;由图象可判断函数y=f(x)在区间2,3上单调递增,所以错误;由图象可判断函数y=f(x)在区间4,6上是减函数,所以正确.答案:三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cos Acos C(tan Atan C-1)=1.(1)求B的大小.(2)若a+c=332,b=3,求ABC的面积.【解析】(1)由2cos Acos C(tan Atan C-1)=1,得2cos Acos CsinAsinCcosAcosC-1=1,所以2(sin Asin C-cos Acos C)=1,所以cos(A+C)=-12,所以cos B=12,又0Bb0),设c0,c2=a2-b2,由题意,知2b=2,ca=22,所以a=1,b=c=22.故椭圆C的方程为y2+x212=1.即y2+2x2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,由题意求得m=12;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(k0),l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,2x2+y2=1,得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0,=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)0,(*)x1+x2=-2kmk2+2,x1x2=m2-1k2+2.因为AP=3 PB,所以-x1=3x2.所以x1+x2=-2x2,x1x2=-3x22.所以3(x1+x2)2+4x1x2=0.所以3-2kmk2+22+4m2-1k2+2=0.整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0.当m2=14时,上式不成立;当m214时,k2=2-2m24m2-1,由(*)式,得k22m2-2,又k0,所以k2=2-2m24m2-10.解得-1m-12或12m0,函数g(x)单调递增;当a0,x0,12a时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x12a,+时,g(x)0时,g(x)的单调递增区间为0,12a,单调递减区间为12a,+.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在0,12a内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在1,12a内单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=12时,12a=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减.所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a12时,012a0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)12.请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,P是直线2x+2y-1=0上的一点,Q是射线OP上的一点,满足|OP|OQ|=1.(1)求Q点的轨迹.(2)设点M(x,y)是(1)中轨迹上任意一点,求x+7y的最大值.【解析】(1)以O为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,设点Q,P的极坐标分别为(,),(1,),由题意1=1,0,得1=1,所以点P直角坐标为cos,sin,P在直线2x+2y-1=0上,所以2cos+2sin-1=0,=2cos +2sin ,化成直角坐标方程得(x-1)2+(y-1)2=2(x0,且y0),所以Q点的轨迹是以(1,1)为圆心,2为半径的圆(原点除外).(2)Q点轨迹的参数方程为x=1+2cosy=1+2sin( 为参数,54),则x+7y=1+2cos +7+72sin =8+10sin(+),其中tan =17,所以x+7y的最大值是18.23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8.(2)若|a|1,|b|a|fba.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2x-2,x1当x1时,由2x+28,解得x3;所以不等式f(x)+f(x+4)8的解集为x|x-5或x3.(2)f(ab)|a|fba,即|ab-1|a-b|.因为|a|1,|b|0,所以|ab-1|a-b|,故所证不等式成立.
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