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单元检测(四)图形初步与三角形(考试用时:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若1=35,则2的度数是()A.35B.45C.55D.65答案C解析1+3=90,1=35,3=55,2=3=55.2.已知下列命题:若ab1,则ab;若a+b=0,则|a|=|b|;等边三角形的三个内角都相等;底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析当b1,那么ab,错误;若a+b=0,则|a|=|b|正确,但是若|a|=|b|,则a+b=0错误,错误;等边三角形的三个内角都相等,正确,逆命题也正确,正确;底角相等的两个等腰三角形不一定全等,错误;其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个.3.(xx湖北宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,PCA=35,则小河宽PA等于()A.100sin 35米B.100sin 55米C.100tan 35米D.100tan 55米答案C解析PAPB,PC=100米,PCA=35,小河宽PA=PCtanPCA=100tan 35米.4.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C的坐标为()A.32,0B.(2,0)C.52,0D.(3,0)答案C解析过点B作BDx轴于点D,ACO+BCD=90,OAC+ACO=90,OAC=BCD,在ACO与BCD中,OAC=BCD,AOC=BDC,AC=BC,ACOCBD(AAS),OC=BD,OA=CD,A(0,2),C(1,0)OD=3,BD=1,B(3,1),设反比例函数的解析式为y=kx,将B(3,1)代入y=kx,得k=3,y=3x,把y=2代入y=3x,得x=32,当顶点A恰好落在该双曲线上时,此时点A移动了32个单位长度,C也移动了32个单位长度,此时点C的对应点C的坐标为52,0.5.如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.23答案C解析在RtABC中,ACB=90,CE为AB边上的中线,CE=AE=5,又AD=2,DE=AE-AD=5-2=3,CD为AB边上的高,CDE=90,CDE为直角三角形CD=CE2-DE2=52-32=4.6.(xx湖南娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin -cos =()A.513B.-513C.713D.-713答案D解析小正方形面积为49,大正方形面积为169,小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去),BC=AB2-AC2=12,sin =ACAB=513,cos =BCAB=1213,sin -cos =513-1213=-713.7.(xx陕西)在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.423B.22C.823D.32答案C解析ADBC,ADC是直角三角形,C=45,DAC=45,AD=DC,AC=8,AD=42,在RtABD中,B=60,BD=ADtan60=423=463,BE平分ABC,EBD=30,DE=BDtan 30=46333=423,AE=AD-DE=42-423=823.8.(xx湖北黄冈)如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()A.50B.70C.75D.80答案B解析由三角形的内角和定理,得BAC=180-B-C=180-60-25=95.又由垂直平分线的性质,知C=DAC=25,BAC=BAD+DAC=BAD+C=BAD+25=95BAD=95-25=70.9.如图,ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则AFG的面积是()A.4.5B.5C.5.5D.6答案A解析点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,AD是ABC的中线,BE是ABD的中线,CF是ACD的中线,AF是ABE的中线,AG是ACE的中线,AEF的面积=12ABE的面积=14ABD的面积=18ABC的面积=32,同理可得AEG的面积=32,BCE的面积=12ABC的面积=6,又FG是BCE的中位线,EFG的面积=14BCE的面积=32,AFG的面积是323=92=4.5.10.(xx江苏南通)如图,等边ABC的边长为3 cm,动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度,沿ABC的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为()答案C解析正ABC的边长为3 cm,A=B=C=60,AC=3 cm.当0x3时,即点P在线段AB上时,AP=x cm(0x3);解法一:根据余弦定理知cos A=AP2+AC2-PC22PAAC,即12=x2+9-y6x,解得y=x2-3x+9(0x3);该函数图象是开口向上的抛物线;解法二:过C作CDAB,则AD=1.5 cm,CD=323 cm,点P在AB上时,AP=x cm,PD=|1.5-x| cm,y=PC2=3232+(1.5-x)2=x2-3x+9(0x3),该函数图象是开口向上的抛物线;当3x6时,即点P在线段BC上时,PC=(6-x)cm(3x6);则y=(6-x)2=(x-6)2=x2-12x+36(3x6),该函数的图象是在30)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边B1A2B2;过B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边B2A3B3;以此类推,则点B6的坐标为.答案(26,0)解析如图,作A2Cx轴于点C,设B1C=a,则A2C=3a,OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,3a).点A2在双曲线y=3x(x0)上,(2+a)3a=3,解得a=2-1,或a=-2-1(舍去),OB2=OB1+2B1C=2+22-2=22,点B2的坐标为(22,0);作A3Dx轴于点D,设B2D=b,则A3D=3b,OD=OB2+B2D=22+b,A2(22+b,3b).点A3在双曲线y=3x(x0)上,(22+b)3b=3,解得b=-2+3,或b=-2-3(舍去),OB3=OB2+2B2D=22-22+23=23,点B3的坐标为(23,0);同理可得点B4的坐标为(24,0)即(4,0);,点Bn的坐标为(2n,0),点B6的坐标为(26,0).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(xx贵州铜仁)已知:如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AEBF.证明AD=BC,AC=BD,在ACE和BDF中,AC=BD,AE=BF,CE=DF,ACEBDF(SSS),A=B,AEBF.20.(8分)(xx浙江杭州)阅读下列题目的解题过程:已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.解 a2c2-b2c2=a4-b4(A)c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)c2=a2+b2(C)ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为:;(3)本题正确的结论为:.解(1)由题目中的解答步骤可得,错误步骤的代号为:C;(2)错误的原因为:没有考虑a=b的情况,(3)本题正确的结论为:ABC是等腰三角形或直角三角形.21.(10分)如图,在ABC中,ADBC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.(1)求证:DE=DF,DEDF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.(1)证明ADBC,ADB=ADC=90,在BDG和ADC中,BD=AD,BDG=ADC,DG=DC,BDGADC(SAS),BG=AC,BGD=C,ADB=ADC=90,E,F分别是BG,AC的中点,DE=12BG=EG,DF=12AC=AF,DE=DF,EDG=EGD,FDA=FAD,EDG+FDA=90,DEDF;(2)解AC=10,DE=DF=5,由勾股定理得,EF=DE2+DF2=52.22.(10分)(xx湖南张家界)2017年9月8日10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB=1 000米),沿俯角为30的方向直线飞行1 400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.解过点D作DEAB于E,DFBC于点F,由题意知ADE=30,CDF=30,在RtDAE中.AE=12AD=121 400=700,cosADE=DEAD=32,DE=1 40032=7003EB=AB-AE=1 000-700=300DF=BE=300tanCDF=FCDF=33FC=30033=1003BC=BF+FC=DE+FC=7003+1003=8003(米).23.(10分)在ABC中,A=30,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B运动,点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示.(1)求a的值;(2)求图2中图象C2段的函数表达式;(3)当点P运动到线段BC上某一段时APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积,求x的取值范围.解(1)如图,作PDAB于D,A=30,PD=12AP=x,由题图2可知,当x=1时,y=12,12a1=12,a=1.(2)如图,作PDAB于D,由图象可知,PB=52-2x=10-2x,PD=PBsin B=(10-2x)sin B,y=12AQPD=12x(10-2x)sin B,当x=4时,y=43,124(10-24)sin B=43,解得sin B=13,y=12x(10-2x)13=-13x2+53x;(3)12x2=-13x2+53x,解得x1=0,x2=2,由图象可知,当x=2时,y=12x2有最大值,最大值是1222=2,-13x2+53x=2,解得,x1=3,x2=2,当2x3时,点P运动到线段BC上某一段时APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积.24.(12分)(xx贵州安顺)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使PBC为直角三角形的点的坐标.解(1)依题意得-b2a=-1,a+b+c=0,c=3,解之得a=-1,b=-2,c=3,抛物线的解析式:y=-x2-2x+3.对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),把B(-3,0),C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得-3m+n=0n=3,解之得m=1n=3,直线y=mx+n的解析式为y=x+3.(2)直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小,把x=-1代入直线y=x+3得y=2,M(-1,2).即当点M到点的距离与到点的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).(注:本题只求M坐标没说要证明为何此时MA+MC的值最小,所以答案没证明MA+MC的值最小的原因).(3)设P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3),BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得t=-2,若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得t=4,若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得t1=3+172,t2=3-172.综上所述的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或-1,3+172或-1,3-172.
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