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专题综合检测练（四）(120分钟150分)第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在区域0x2,0y1 内任取一点Px,y,满足y-x2+2x的概率为()A.12B.23C.4D.4-4【解析】选C.如图,曲线y=-x2+2x的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,由几何概型得P=22=4.2.已知P是ABC所在平面内的一点,且+4=0,现向ABC内随机投掷一针,则该针扎在PBC内的概率为()A.14B.13C.12D.23【解析】选D.设边BC的中点为D,因为+4=0,所以2+4=0,所以=-2,所以SPBC=23SABC,所以向ABC内随机投掷一针,该针扎在PBC内的概率为23.3.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.110B.16C.15D.56【解析】选B.因为每个整点发车,所以他等待时间不多于10分钟的概率为1060=16.4.甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为()A.13B.12C.23D.34【解析】选A.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果,分别为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝).他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为39=13.5.三国时期吴国的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角=6,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是()A.1-32B.32C.4-34D.34【解析】选A.因为小正方形的边长为2cos 6-sin 6=3-1,小正方形的面积为(3-1)2=4-23,所以向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是4-234=2-32=1-32.6.已知正方形ABCD如图所示,其中AC,BD相交于O点,E,F,G,H,I,J分别为AD,AO,DO,BC,BO,CO的中点,阴影部分中的两个圆分别为ABO与CDO的内切圆,若往正方形ABCD中随机投掷一点,则该点落在图中阴影区域内的概率为()A.1+(2-2)2B.1+(4-22)4C. 1+(6-42)4D.1+(6-22)4【解析】选C.依题意,不妨设AO=2,则四边形EFOG与四边形HIOJ的面积之和为S=2;两个内切圆的面积之和为S=2(2-2)2=(12-82),故所求概率P=2+(12-82)8=1+(6-42)4.7.(2018山东师范大学附中一模)在区间-6,2上随机取一个数x,则sin x+cos x1,2的概率是()A.23B.34C.12D.13【解析】选B.因为y=sin x+cos x=2sinx+41,2,又因为x-6,2,所以x0,2,所以所求的概率为P=22+6=34.8.某公司某件产品的定价x与销量y之间的统计数据如表,根据数据,用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为=6x+6,则表格中n的值为()x13457y1020n3545A.25B.30C.40D.45【解析】选C.因为x=4,y=110+n5,所以110+n5=64+6,解得n=40.9.(2018长沙一模)某地区想要了解居民生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然后每个行业抽取150的居民家庭进行调查,这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分类抽样D.分层抽样 【解析】选D.由于居民按所在行业可分为不同的几类,符合分层抽样的特点.10.(2018 郑州一模)某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛,他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,则1a+4b的最小值为()A.49B.2C.94D.9【解析】选C.因为甲班学生成绩的中位数是81,所以x=1,因为乙班学生成绩的平均数是86,所以76+80+82+80+y+96+93+917=86,所以y=4,因为x,G,y成等比数列,所以G2=xy=4,因为正实数a,b满足a,G,b成等差数列,所以a+b=4,所以1a+4b=1a+4ba+b4=145+ba+4ab14(5+24)=94,当且仅当ba=4ab,即b=83,a=43时取等号.11.(2018兰州五校联考)下列两变量中不存在相关关系的是()人的身高与视力;曲线上的点与该点的坐标之间的关系;某农田的水稻产量与施肥量;某同学考试成绩与复习时间的投入量;匀速行驶的汽车的行驶的距离与时间;家庭收入水平与纳税水平;商品的销售额与广告费.A.B.C.D.【解析】选A.人的身高与视力无任何关系,故不存在相关关系;曲线上的点与该点的坐标之间,存在一一对应的关系,故不存在相关关系;某农田的水稻产量与施肥量,两变量有关系,但不确定,故存在相关关系;某同学考试成绩与复习时间的投入量,两变量有关系,但不确定,故存在相关关系;匀速行驶的汽车的行驶的距离与时间,它们之间的关系是函数关系,故不存在相关关系; 家庭收入水平与纳税水平,存在相关关系;商品的销售额与广告费,两变量有关系,但不确定,故存在相关关系.12.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.14B.13C.12D. 34【解析】选A.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4个,则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个.因此,数字2是这三个不同数字的平均数的概率是P=14.第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是=13x+且x1+x2+x8=3,y1+y2+y8=5,则实数=_.【解析】因为x1+x2+x8=3,所以x=38,因为y1+y2+y8=5,所以y=58,因为回归直线经过样本点的中心(x,y),所以58=1338+,解得=12.答案:1214.(2018湖北省八校联考)通常,满分为100分的试卷,60分为及格线.若某次满分为100分的测试卷,100人参加测试,将这100人的卷面分数按照24,36), 36,48), 84,96)分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少,某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率(实数a的取整等于不超过a的最大整数),如:某位学生卷面49分,则换算成70分作为他的最终考试成绩,则按照这种方式,这次测试的及格率将变为_.【解析】因为采用“开方乘以10取整”的方法进行换算,原来的36分不及格变为60分及格,因为原来分数低于36分的频率为0.01512=0.180,所以换算后及格率将变为1-0.180=0.820.答案:0.82015.(2018衡水中学一模)某次考试有64名考生,随机编号为0,1,2,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为_.【解析】因为在第一组中随机抽取的号码为5,所以由系统抽样方法的规则得在第6组中抽取的号码为5+(6-1)8=45.答案:4516.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归方程为 =0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值为_.天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.5c【解析】因为x=15(3+4+5+6+7)=5,y=15(2.5+3+4+4.5+c)=14+c5,所以这组数据的样本中心点是5,14+c5,把样本中心点代入回归方程=0.85x-0.25,所以14+c5=0.855-0.25,所以c=6.答案:6三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此种元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率.(2)若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件,抽到的2件优等品中,“甲产品的含量28毫克优等品必须在内,且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件A,求事件A的概率.【解析】(1)从甲产品抽取的10件样品中优等品有4件,优等品率为410=25,从乙产品抽取的10件样品中优等品有5件,优等品率为510=12,故甲、乙两种产品的优等品率分别为25,12.(2)记甲种产品的4件优等品分别记为A1,A2,A3,A4,且甲产品的含量28毫克优等品设为A1;乙种产品的5件优等品分别记为B1,B2,B3,B4,B5,且乙产品的的含量28毫克优等品设为B1;若从中各随机抽取1件,构成的所有基本事件为:A1B1,A1B2,A1B3, A1B4,A1B5,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A2B5,A3B1,A3B2,A3B3,A3B4,A3B5,A4B1,A4B2,A4B3,A4B4,A4B5,共有20种;事件A所含基本事件为:A1B2,A1B3,A1B4,A1B5,共有4种.所求概率为P(A)=420=15.18.(12分)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为100分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:分组频数频率40,50)a0.0450,60)3b60,70)140.2870,80)150.3080,90)cd90,10040.08合计501(1)写出a,b,c,d的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从成绩在90,100内的学生中任选出两名同学,从成绩在40,50)内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若A1同学的数学成绩为43分,B1同学的数学成绩为95分,求A1,B1两同学恰好都被选出的概率.【解析】(1)a=2,b=0.06,c=12,d=0.24.估计本次考试全年级学生的数学平均分为450.04+550.06+650.28+750.3+850.24+950.08=73.8.(2)设数学成绩在90,100内的四名同学分别为B1,B2,B3,B4,成绩在40,50)内的两名同学分别为A1,A2,则选出的三名同学可以为:A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4,共有12种情况.A1,B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4,共有3种情况,所以A1,B1两名同学恰好都被选出的概率为P=312=14.19.(12分)某厂家为了了解一款产品的质量,随机抽取200名男性使用者和100名女性使用者,对该款产品进行评分,绘制出如下频率分布直方图.(1)利用组中值(数据分组后,一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数),估计100名女性使用者评分的平均值.(2)根据评分的不同,运用分层抽样从这200名男性中抽取20名,在这20名中,从评分不低于80分的人中任意抽取3名,求这3名男性中恰有一名评分在区间 90,100的概率.【解析】(1)平均分为550.0110+650.0210+750.0410+850.02510+950.00510=74.5.(2)运用分层抽样从这200名男性用户中抽取20名,评分不低于80分的有6人,其中评分小于90分的人数为4人,记为A,B,C,D,评分在区间90,100的人数为2人,记为M,N,共有20个基本事件,3 人中恰有一名评分在区间90,100包含如下12个基本事件:(M,A,B)、(M,A,C)、(M,A,D)、(M,B,C)、(M,B,D)、(M,C,D)、(N,A,B)、(N,A,C)、(N,A,D)、(N,B,C)、(N,B,D)、(N,C,D),这3名男性中恰有一名评分在区间90,100的概率为1220=35.20.(12分)海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目,因其外形仿照古代海盗船而得名,现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量,具体数据如下:时间点8点10点12点14点16点18点甲游乐场1031261220乙游乐场13432619(1)从所给6个时间点中任选一个,求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率.(2)记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为xi,yi (i=1,2,3,4,5,6),现从该6个时间点中任取2个,求恰有1个时间满足xiyi的概率.【解析】(1)事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点,一共有6个时间点,所以所求概率为P=26=13.(2)依题意,xiyi有4个时间点,记为A,B,C,D;xiyi有2个时间点,记为a,b;故从6个时间点中任取2个,所有的基本事件为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a), (A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,其中满足条件的为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,故所求概率P=815.21.(12分)(2018河南省六市联考)高三一班、二班各有6名学生参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试,成绩如茎叶图所示.(1)若一班、二班6名学生的平均分相同,求x值.(2)若将竞赛成绩在60,75),75,85),85,100内的学生在学校推优时,分别赋1分,2分,3分,现在一班的6名参赛学生中取两名,求推优时,这两名学生赋分的和为4分的概率.【解析】(1)由93+90+x+81+73+77+61=90+94+84+72+76+63,得x=4.(2)由题意知一班赋3,2,1分的学生各有2名设赋3分的学生为A1,A2,赋2分的学生为B1,B2,赋1分的学生为C1,C2,则从6人抽取两人的基本事件为A1A2,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1B2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1C2共15种,其中赋分和为4分的有5种,所以这两名学生赋分的和为4的概率为P=515=13.22.(14分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩的情况,从这两学校中分别随机抽取30名高三年级学生的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:(1)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校高三年级学生总人数.(2)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好(不要求计算,要求写出理由).(3)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于60分为不及格)的学生中随机抽取2人,求至少抽到一名乙校学生的概率.【解析】(1)因为每位同学被抽取的概率均为0.15,则高三年级学生总数M=300.15=200.(2)由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间,乙校也有22位同学分布在70 至80之间,乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大,方差较小.所以,乙校学生的成绩较好.(3)由茎叶图可知,甲校有4位同学成绩不及格,分别记为:1,2,3,4;乙校有2位同学成绩不及格,分别记为:5,6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能:(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6),总共有15个基本事件.记“至少包含一名乙校学生”的事件为A,则A包含9个基本事件,如下:(1,5)、(1,6)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6).所以,P(A)=915=35.【提分备选】1.某组织在某市征集志愿者参加志愿活动,现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况,具体数据如图所示.(1)根据条件完成下列22列联表,并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关?愿意不愿意总计男生女生总计(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者,再从中抽取2人作为队长,求抽取的2人至少有一名女生的概率.参考数据及公式:PK2k00.10.050.0250.01k02.7063.8415.0246.635K2=nad-bc2a+bc+da+cb+dn=a+b+c+d.【解析】(1)完成22列联表如下:愿意不愿意总计男生154560女生202040总计3565100计算K2的观测值k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(1520-4520)2604035656.596,故满足认购条件.再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品T为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36,0.54,0.1.故2 000件产品中,一、二、三等品的件数估计值分别为720件,1 080件,200件.一等品的销售总利润为72089(20-10)=6 400元;二等品的销售总利润为1 08023(16-10)-1 08013(10-8)=3 600元;三等品的销售总利润为20025(12-10)-20035(10-6)=-320元.故2 000件产品的单件平均利润值的估计值为(6 400+3 600-320)2 000=4.84(元),满足认购条件,综上所述,该新型窑炉达到认购条件.方法二:再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品T为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36,0.54,0.1.故2 000件产品的单件平均利润值的估计值为0.3689(20-10)+0.5423(16-10)-13(10-8)+0.125(12-10)-35(10-6)=4.84(元),满足认购条件.综上所述,该新型窑炉达到认购条件.3.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下,空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间,空气质量为二级;在75微克/立方米以上,空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这18个数据中不超标数据的方差.(2)在空气质量为一级的数据中,随机抽取2个数据,求其中恰有一个为PM2.5日均值小于30微克/立方米的数据的概率.(3)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.【解析】(1)平均值x=40,方差s2=133.(2)由题目条件可知,空气质量为一级的数据共有4个,分别为26,27,33,34.则由一切可能的结果组成的基本事件为(26,27),(26,33),(26,34),(27,33), (27,34),(33,34),共6个,设“其中恰有一个为PM2.5日均值小于30微克/立方米的数据”为事件A,则A包含的基本事件有(26,33),(26,34),(27,33),(27,34),共有4个,所以P(A)=46=23.(3)由题意知,一年中空气质量超标的概率P=818=49,49360=160,所以一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.
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