2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第4章 方程组试题1 新人教版.doc

2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第4章 方程组试题1 新人教版411已知关、的方程组分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零由式得，将代入得当，即且时，方程有唯一解，将此值代入有，因而原方程组有唯一一组解当，且时，即时，方程无解，因此原方程组无解当且时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解评注对于二元一次方程组，（、为已知数，且与，与中都至少有一个不为零）（1）当时，方程组有唯一的解（2）当时，原方程组有无穷多组解（3）当时，原方程组无解412对、的哪些值，方程组至少有一组解？解析由原方程可得即（1）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解（2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解413已知关于、的二元一次方程当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解解析1根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：解之得将，代入原方程得所以对任何值都是原方程的解评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似解析2可将原方程变形为由于公共解与无关，故有解之得公共解为414已知，且，求的值解析已知代数式中含有、三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出、的具体值来的因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组解得因为，所以，于是415若、的值满足方程组求的值解析由+得，即由得：把代入得：解得，把代人得：，所以方程组解为原式416当取何值时，关于、的方程组有正整数解解析解方程组得所以，是被3除余2的整数由得所以，417为何值时，方程组（1）当，即时，原方程组有唯一解（2）当，即时，原方程组无穷多组解；（3）由于，故方程组不可能无解418若方程组的解满足，求的值解析将代入原方程组，得所以，419甲、乙二人同时求的整数解甲求出一组解为而乙把中的7错看成1，求得一组解为求、的值解析 把，代入，得把，代入，得解方程组得4110甲、乙两人解方程组由于甲看错了方程中的以而得到方程组的解为乙看错了方程中的而得到的解为假如按正确的、计算，求出原方程组的解解析因为甲只看错了方程中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程，即同理，应满足正确的方程，即解由、联立的方程组得所以原方程组应为解之得4111已知方程组无解，、是绝对值小于10的整数，求、的值解析因为方程组无解的条件是参照这个条件问题便可解决原方程组可化为因为方程组无解，所以有，所以，且，因为，所以，又因为是整数，所以，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9所以，当时，原方程组无解4112已知关于和的方程组有解，求的值解析首先解方程组得到，代入原方程组中后两个方程，得到再解上面关于和的方程组，得到，4413已知，求的值解析根据题意有（+），得得，得 ，得，所以4114如果方程组的解是正整数，求整数的值解析解方程组得因为、都是正整数，所以解得因为是整数，所以将代入和式，、的值均为正整数故4115解方程组解析因为表示两个方程，即和，或者和，或者和，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组，将原方程组改写为由方程得，代入化简得由得得，所以，将代入，得将代入，得所以为原方程组的解评注本题解法中，由、消去时，采用了代入消元法；解、组成的方程组时，若用代入法消元，无论消去还是消去，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单4116已知求的值解析-消去得，即消去得，即消去得，即所以，即为所求4117解方程组解析将+，得由+得，由+得，由+得，所以，原方程组的解为4118解方程组解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：+得，+得，+得，+得又+得一一得，把代入得，把代入得，把代入得，把代入得所以为原方程组的解4119解方程组解析得，由得，代入得，代入得再把，代入得，所以为原方程组的解解析2令，则原方程化为解得，即为原方程组的解，评注解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，如、等）；解法2称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程4120解方程组解析原方程组可化为+得，故将分别代入、，得原方程组的解为4121解方程组解析消去、，得，所以由，得由，得所以，原方程组的解为4122解方程组解析有原方程得所以，即，解之得，将代入得.将代入得.将代入得所以原方程组解为4123解方程组解析先把各方程左边通分，再对每个方程两边取倒数，并设，则原方程可化为+，得用分别减去、，可得显然，.由上面三式易得，又，所以，则有，所以所以，原方程组的解为（经检验）4124解方程组解析原方程可变形为解得，所以，方程组的解为4125解方程组解析得，则把式代入、，整理分别得，得若，由式得，解得将代入式，得若，同理，将，代入式得分解因式得故（，）为（，2，）、（2，）（，2）综上，共有5组解，（，2，）（2，）（，2）4126解方程组解析得解方程组得4127解方程组解析得，所以，解方程组与得原方程组的解4128解方程组解析由得，所以或因此，原方程组可化为两个方程组与解两个方程组得原方程组的解为评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时，可用因式分解法解4129解方程组解析由得，即，所以或所以或分别解下列两个方程组得原方程组的解为评注如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解4130解方程组解析原方程组可变形为得令，则，所以，即或当时，代入得解方程组可得，；，当时，代入得而方程组无实数解综上所述，方程组的解为评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式和表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用和作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组4131解方程组解析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式由得将代入，得，所以由、可得基本对称方程组于是可得方程组的解为4132解方程组解析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程，从而使方程降次化简，再因式分解得，所以或解下列两个方程组得原方程组的四组解为4133解方程组解析1 用换元法设，则有，即并平方得，整理得，所以，化得，因为，因此解方程组得经检验，适合方程、，由此得原方程的解是解析2得，即所以与同号或同为零由方程得，即，所以与不能同正，也不能同负从而，由此解得经检验，是方程组的解4134解方程组：解析 本例各方程中，未知数的出现是循环对称的若用消元法求解将十分困难故而采用不等式求解显然方程组的解，都同号，且若，是方程组的解，则，也是方程组的解故不妨先设因为，所以同理，把方程组的所有方程相加，整理，得但，因此要等式成立，只能容易检验，确实原方程组的解因此，原方程组有两组解，它们是4135解方程组：解析1首先有再由（为实数）得，；所以只能进而求得本题的两组解或解析2若，中有一个为零，则由方程组可推出其余个未知数都是零，则是原方程组的解下设都不是零，则将所有方程相加，并整理、配方，得因为，所以只能，易知它确实原方程组的解因此，原方程组的解由两组：，或4136已知原方程组：它的系数满足下列条件：（1）、都是正数；（2）所有其他系数都是负数；（3）每一方程中系数之和是正数求证：是已知方程组的唯一解解析 本例是一个三元线性齐次方程组，显然是它的解，因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可用反证法若方程组有不全为零的解，由对称性不设防、中以为最大，则于是由，得上面的不等式显然是矛盾的故已知方程组只有唯一解：4137解方程组解析将这个5个方程相加，得，所以，故（，）（3，2，1，5，4）经检验知，（，）（3，2，1，5，4）是方程组的解