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标准仿真模拟练（一）(120分钟150分)第卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.已知集合A=(x,y)|x,yR,且x2+y2=1,B=(x,y)|x,yR,且y=x,则AB的元素个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即AB的元素个数为2.2.设z=1+i(i是虚数单位),则2z-z=()A.iB.2-iC.1-iD.0【解析】选D.因为2z-z=21+i-1+i=2(1-i)(1+i)(1-i)-1+i=1-i-1+i=0.3.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0b1”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当-1b2 019成立的i的最小正整数值,则输出框中应填()A.输出i-2B.输出i-1C.输出iD.输出i+1【解析】选A.假设使不等式成立的i的最小正整数为k.则当i=k-2时,S2 019不成立,继续循环;S=2468(k-2),i=i+2=k;S2 019不成立,继续循环;S=2468k,i=i+2=k+2,S2 019成立,跳出循环,此时i值为k+2,故应输出i-2.8.已知f(x)=2sin2x+6,若将它的图象向右平移6个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为()A.x=12B.x=4C.x=3D.x=2【解析】选C.f(x)=2sin2x+6,若将它的图象向右平移6个单位,得到函数g(x)=2sin2x-6+6=2sin2x-6的图象,令2x-6=k+2,kZ,得x=k2+3,kZ,故函数图象的一条对称轴的方程为x=3.9.已知,|=1t,|=t,若P点是ABC所在平面内一点,且= +,当t变化时,的最大值等于()A.-2B.0C.2D.4【解析】选B.以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,因为,|=1t,|=t,所以B1t,0,C(0,t),因为P点是ABC所在平面内一点,且=+,所以=(1,0)+(0,1)=(1,1),即P(1,1),所以=1t-1,-1,=(-1,t-1),所以=-1t+1-t+1=2-1t+t,因为1t+t21tt=2,所以的最大值等于0,当且仅当t=1t,即t=1时,取等号.10.已知函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1),当x0,1时,f(x)=x.若g(x)= f(x)-mx-2m在区间(-1,1上有两个零点,则实数m的取值范围是()A.0m13B.0m13C.13m1D.13m1【解析】选A.当-1x0时,0x+10,即直线y=mx+2m的斜率大于0,而此时应使直线y=mx+2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方,则可得3m1,即m13.综上所述,01),若对任意的x10,4,总存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为()A.1,94B.9,+)C.1,949,+)D.32,949,+)【解析】选C.函数f(x)=x3-6x2+9x,导数为f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得f(x)的极值点为1,3,由f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,可得f(x)在0,4的值域为0,4;g(x)=13x3-a+12x2+ax-13(a1),导数为g(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),当1xa时,g(x)0,g(x)递减;当xa时,g(x)0,g(x)递增.由g(0)=-13,g(1)=12(a-1),g(a)=-16a3+12a2-13,g(4)=13-4a,当3a4时,13-4a12(a-1),g(x)在0,4的值域为-13,12(a-1),由对任意的x10,4,总存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),可得0,4-13,12(a-1),即有412(a-1),解得a9不成立;当1a12(a-1),g(x)在0,4的值域为-13,13-4a,由题意可得0,4-13,13-4a,即有413-4a,解得a94,即为14时,可得g(1)取得最大值,g(4)-3为最小值,即有0,413-4a,12(a-1),可得13-4a0,412(a-1),即a134且a9,解得a9.综上可得,a的取值范围是1,949,+).第卷本卷包含必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.在ABC中,BAC=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,则AD=_.【解析】设ABC的内角BAC,角B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=1010,由题设知0B|PF2|,则|PF1|PF2|的值为_.【解析】若PF2F1=90,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,解得|PF1|=143,|PF2|=43,所以|PF1|PF2|=72.若F2PF1=90,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|PF2|=2.综上所述,|PF1|PF2|=2或72.答案:2或72三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0.(1)求数列的通项公式.(2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn.【解析】(1)因为an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an,所以an是以a1为首项的等差数列,则an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,所以d=2-83=-2,所以an=10-2n.(2)令Tn=a1+a2+an,因为an=10-2n,令an=0,得n=5.当n5时,an0;当n=5时,an=0;当n0.所以当n5时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)= T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,当n5时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Tn=9n-n2.所以Sn=9n-n2(n5),n2-9n+40(n5).18.(本小题满分12分)全世界人们越来越关注环境保护问题,某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI),数据统计如下:空气质量指数(g/m3)区间0,50)50,100)100,150)150,200)200,250)空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完成频率分布直方图.(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数.(3)在空气质量指数分别属于50,100)和150,200)的监测数据中,用分层抽样的方法抽取5天,再从中任意选取2天,求事件A“两天空气都为良”发生的概率.【解析】(1)因为0.00450=20n,所以n=100因为20+40+m+10+5=100,所以m=25.4010050=0.008,2510050=0.005,1010050=0.002,510050=0.001.(2)由组中点值代替组中值计算平均数0.225+0.475+0.25125+0.1175+0.05225=95,由50+3450=87.5知中位数为87.5.所以平均数为95,中位数为87.5.(3)在空气质量指数为50,100)和150,200)的监测天数中应分别抽取4天和1天,在所抽取的5天中,将空气质量指数为50,100)的4天分别记为a,b,c,d;将空气质量指数为150,200)的1天分别记为e;从中任取2天的基本事件分别为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种.其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种.所以事件A“两天空气都为良”发生的概率是P(A)=610=35.19.(本小题满分12分)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60,点E,F分别是边CD,CB的中点,ACEF=O.沿EF将CEF翻折到PEF,连接PA,PB,PD,得到如图2的五棱锥P-ABFED,且PB=10.(1)求证:BD平面POA.(2)求四棱锥P-BFED的体积.【解析】(1)因为点E,F分别是边CD,CB的中点,所以BDEF.因为ABCD是菱形,所以BDAC,所以EFAC,所以翻折后EFAO,EFPO,因为AO平面POA,PO平面POA,AOPO=O,所以EF平面POA,所以BD平面POA.(2)设AOBD=H,连接BO,因为ABCD是菱形,所以AB=AD,因为DAB=60,所以ABD为等边三角形,所以BD=4,BH=2,HA=23,HO=PO=3,在RtBHO中,BO=BH2+HO2=7,在PBO中,BO2+PO2=10=PB2,所以POBO,因为POEF,EFBO=O,EF平面BFED,BO平面BFED,所以PO平面BFED,又梯形BFED的面积为S=12(EF+BD)HO=33,所以四棱锥P-BFED的体积V=13SPO=13333=3.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左,右焦点分别为F1,F2,上顶点和右顶点分别为B,A,线段AB的中点为D,且kODkAB=-12,AOB的面积为22.(1)求椭圆C的方程.(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,若MF2N的面积为163,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由已知得A(a,0),B(0,b),Da2,b2,所以kODkAB=b2a2b-a=-12,即a2=2b2,又SAOB=12ab=22,所以ab=42,由解得a2=8,b2=4,所以椭圆方程为x28+y24=1.(2)当直线lx轴时,易得M(-2,2),N(-2,-2),MF2N的面积为42,不合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.显然有0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8k21+2k2,x1x2=8k2-81+2k2,所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-8k21+2k22-48k2-81+2k2,化简得|MN|=42(1+k2)1+2k2.设圆的半径为r,则r=4|k|1+k2,所以SMF2N=12|MN|r=1242(1+k2)1+2k24|k|1+k2=82|k|1+k21+2k2=163,化简得k4+k2-2=0,解得k=1,所以r=22,所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=aln x+1-a2x2-bx(a1),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为0.(1)求b.(2)若存在x01,使得f(x0)aa-1,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=ax+(1-a)x-b.由题设知f(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+),由(1)知,f(x)=aln x+1-a2x2-x,f(x)=ax+(1-a)x-1=1-axx-a1-a(x-1),若a12,则a1-a1,故当x1,+)时,f(x)0,f(x)在1,+)上单调递增.所以,存在x01,使得f(x0)aa-1的充要条件为f(1)aa-1,即1-a2-1aa-1,所以-2-1a2-1;若12a1,故当x1,a1-a时,f(x)0,f(x)在1,a1-a上单调递减,f(x)在a1-a,+上单调递增.所以,存在x01,使得f(x0)aa-1的充要条件为fa1-aaa-1,所以不符合题意.若a1,则f(1)=1-a2-1=-1-a2aa-1.综上,a的取值范围为:(-2-1,2-1)(1,+).请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos-3=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标.(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)因为cos -3=1,所以cos cos 3+sin sin 3=1.又x=cos,y=sin,所以12x+32y=1,即曲线C的直角坐标方程为x+3y-2=0.令y=0,则x=2,令x=0,则y=233,所以M(2,0),N0,233,所以M的极坐标为(2,0),N的极坐标为233,2.(2)MN连线的中点P的直角坐标为1,33,直线OP的极角为=6,所以直线OP 的极坐标方程为=6(R).23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集.(2)若对任意的x,f(x)2恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,不等式f(x)4,即|x-2|+|x-1|4,可得x2,x-2+x-14或1x2,2-x+x-14或x1,2-x+1-x4,解得-12x72,所以不等式的解集为x-12x72.(2)因为|x-a|+|x-1|a-1|,当且仅当(x-a)(x-1)0时等号成立,由|a-1|2,得a-1或a3,即a的取值范围为(-,-13,+).
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