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专题综合检测练（一）(120分钟150分)第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018泉州一模)tan =2,则sin 2=()A.45B.45C.25D.25【解析】选A.sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.2.(2018石家庄一模)若角的终边经过点P35,-45,则sin tan 的值是()A.1615B.-1615C.-35D.35【解析】选A.因为角的终边经过点P35,-45,所以sin =-45,tan =-43,所以sin tan =1615.3.(2018厦门一模)把函数fx=sin 2x+3cos 2x的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数gx=2sin x的图象,则的一个可能值为()A.-3B.3C.-6D.6【解析】选D.因为fx=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=2sinx-2+3,由已知可得-2+3=2k,kZ,所以的一个可能值为6.4.如图,九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1丈=10尺), 现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8【解析】选B.如图,已知AC+AB=10(尺),BC=3(尺),AB2-AC2=BC2=9, 所以(AB+AC)(AB-AC)=9,解得AB-AC=0.9,因此AB+AC=10,AB-AC=0.9,解得AB=5.45,AC=4.55.故折断处离地面的高为4.55尺.5.已知函数fx=sin 2x+-0,将fx的图象向左平移3个单位长度后所得的函数图象经过点0,1,则函数fx()A.在区间-6,3上单调递减B.在区间-6,3上单调递增C.在区间-6,3上有最大值D.在区间-6,3上有最小值【解析】选B.函数fx=sin 2x+-0,将fx的图象向左平移3个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为y=sin2x+23+,又因为经过点(0,1),所以1=sin23+,所以23+=2+2k,kZ,所以=-6+ 2k,又因为-0,所以=-6,所以f(x)=sin2x-6,所以函数f(x)在区间-6,3上单调递增.6.(2018宜宾二模)在ABC中,sin B=13,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD=2CD,则cos A=()A.-33B.33C.-1010D.1010【解析】选A.由已知可得B为锐角,且tan B=122,因为AD=BD tan B=CD tan C,BD=2CD,所以tan C=2tan B=12,所以tan A=-tan(C+B)=-tanC+tanB1-tanCtanB=-2,A为钝角,由于tanA=sinAcosA,sin2A+cos2A=1,所以cos A=-33.7.已知cos =79,且是第四象限角,则sin-4=()A.23B.-23C. 8-7218D.-8+7218【解析】选D.因为cos =79,且是第四象限角,所以sin =-429,所以sin-4=22(sin-cos)=22-429-79=-8+7218.8.若02,-20,cos (4+)=13,cos (4-2)=33,则cos +2=()A.539B.-33C. 7327D.-69【解析】选A.因为02,cos4+=13,所以sin4+=223,因为-20,cos4-2=33,所以sin4-2=63,所以cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.9.(2018淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=14a2c2-a2+c2-b222.若满足sin Asin Bsin C=(2-1)5(2+1),周长为22+5的ABC的面积为()A.34B.32C.54D.52【解析】选A.因为sin Asin Bsin C=(2-1)5(2+1),所以由正弦定理得abc=(2-1)5(2+1),又因为周长为22+5,所以a=2-1,b=5,c=2+1,所以代入秦九韶公式得ABC的面积为S=14(2-1)2(2+1)2-(2-1)2+(2+1)2-(5)222=34.10.已知函数f(x)=sin (x+4)和函数g(x)=cos (x+4)在区间-54,74上的图象交于A,B,C三点,则ABC的面积是()A.22B.324C.2D.524【解析】选C.解方程sinx+4=cosx+4,得x+4=k+4,kZ,所以x=k,又因为x-54,74,所以x=-1,0,1,所以A-1,-22,B0,22,C1,-22,所以ABC的面积是S=121-(-1)2=2.11.将函数fx=cos2x-4的图象向左平移8个单位后得到函数gx的图象,则gx()A.为奇函数,在0,4上单调递减B.最大值为1,图象关于直线x=2对称C.最小正周期为,图象关于点38,0对称D.为偶函数,在-38,8上单调递增【解析】选B.因为gx=cos2x+8-4=cos 2x,所以g(x)为偶函数,且在k2,k2+2上单调递减,在k2+2,k2+上单调递增,最大值为1,图象关于x=k2,kZ对称,最小正周期为,对称中心为k2+4,0,所以A,C,D都是错误的,B正确.12.(2018成都一模)已知函数f(x)=4sin2x+60x916,若函数F(x)=f(x)-3的所有零点依次记为x1,x2,x3,xn,x1x2x30,0,|2)的部分图象如图所示,则该函数解析式是_.【解析】因为最高点的坐标轴为2,所以A=2,因为T=258-8=,所以=2,由28+=2,解得=4,所以该函数解析式是y=2sin2x+4.答案:y=2sin2x+4三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin 2A-asin (A+C)=0.(1)求角A.(2)若c=3,ABC的面积为332,求a的值.【解析】(1)由bsin 2A-asin(A+C)=0得bsin 2A=asin B=bsin A,又0A,所以sin A0,得2cos A=1,所以A=3.(2)由c=3及12bcsin3=332可得 b=23,又在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(23)2+(3)2-2233cos 3,解得a=3.18.(12分)(2018芜湖一模)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且mn=sin 2C.(1)求角C的大小.(2)若sin A+sin B=2sin C,且ABC面积为93,求边c的长.【解析】(1)因为mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin 2C,在三角形ABC中有:sin(A+B)=sin C,从而有sin C=2sin Ccos C,即cos C=12,则C=60.(2)由sin A+sin B=2sin C,结合正弦定理知:a+b=2c,又S=12absin C=12ab32=93知:ab=36.根据余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4c2-108.解得c=6.19.(12分)(2018武汉一模)在ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2=a2-b+c2.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b=23,求ABC的面积.【解析】(1)由已知2=a2-(b+c)2,得2bccos A=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4bccos A=-2bc,所以cos A=-12,又0Ac,所以BC,则C为锐角,所以cos C=63,则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=3263+1233=32+36,所以ABC的面积S=12bcsin A=4832+36=242+83.方法二:由余弦定理可得122=64+a2-28acos 60,解得a=4+46,所以ABC的面积S=12acsin B=12(4+46)832=242+83.(2)由题意得M,N是线段BC的两个三等分点,设BM=x,则BN=2x,AN=23x,又B=60,AB=8,在ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-282xcos 60,解得x=2(负值舍去),则BN=4,所以BN2+AN2=AB2,所以ANB=90,在RtAMN中,AM=AN2+MN2=48+4=213.22.(14分)已知函数f(x)=3sin 2x+sin xcos x.(1)当x0,3时,求f(x)的值域.(2)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,fA2=32,a=4,b+c=5,求ABC的面积.【解析】(1)由f(x)=3sin2x+sin xcos x=sin2x-3+32,因为x0,3,所以2x-3-3,3,所以sin2x-3-32,32可得f(x)0,3.(2)因为fA2=32,所以sinA-3=0,因为A(0,)可得A=3,因为a=4,b+c=5,所以由余弦定理可得16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-3bc,所以bc=3,所以SABC=12bcsin A=334.【提分备选】1.(2018广东省六校联考)已知sin2+3cos(-)=sin(-),则sin cos +cos2 =()A.15B.25C.35D.55【解析】选C.因为sin2+3cos(-)=sin(-),所以cos -3cos =-sin ,所以tan =2,所以sin cos +cos2 =sincos+cos2sin2+cos2=tan+1tan2+1=35.2.已知函数f(x)=asin4x(a0)在同一周期内的图象过点O,P,Q,其中O为坐标原点,P为函数f(x)图象的最高点,Q为函数f(x)的图象与x轴的正半轴的交点,OPQ为等腰直角三角形.(1)求a的值.(2)将OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角00)上(如图所示),试判断点Q是否也落在曲线y=3x(x0)上,并说明理由.【解析】(1)因为函数f(x)=asin 4x(a0)的最小正周期T=24=8,所以函数f(x)的半周期为4,所以|OQ|=4,即有Q坐标为(4,0),又因为P为函数f(x)图象的最高点,所以点P的坐标为(2,a).又因为OPQ为等腰直角三角形,所以a=|OQ|2=2.(2)点Q不落在曲线y=3x(x0)上,理由如下:由(1)知,|OP|=22,|OQ|=4所以点P,Q的坐标分别为22cos+4,22sin+4,(4cos ,4sin ).因为点P在曲线y=3x(x0)上,所以3=8cos+4sin+4=4sin2+2=4cos 2,即cos 2=34,又020)上.
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