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专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.已知实数x,y满足axay(0a1y2+1B.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sin xsin yD.x3y32.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+)内单调递增,则f(2-x)0的解集为()A.x|x2或x-2B.x|-2x2C.x|x4D.x|0x43.不等式组|x-2|1的解集为()A.(0,3)B.(3,2)C.(3,4)D.(2,4)4.若x,y满足x3,x+y2,yx,则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.95.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A.-3B.3C.-1D.18.已知变量x,y满足约束条件x+y0,x-2y+20,mx-y0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.29.若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.1210.(2018全国,文14)若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.11.当实数x,y满足x+2y-40,x-y-10,x1时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是.12.设不等式组x+y-110,3x-y+30,5x-3y+90表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.二、思维提升训练13.若平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.514.设对任意实数x0,y0,若不等式x+xya(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为()A.6+24B.2+24C.6+24D.15.设x,y满足约束条件4x-3y+40,4x-y-40,x0,y0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为8,则ab的最大值为.16.(2018北京,文13)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是.17.若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.18.已知存在实数x,y满足约束条件x2,x-2y+40,2x-y-40,x2+(y-1)2=R2(R0),则R的最小值是.专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.D解析 由axay(0ay,故x3y3,选D.2.C解析 f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,b-2a=0,即b=2a,f(x)=ax2-4a.f(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+)单调递增,a0.由f(2-x)0,得a(x-2)2-4a0,a0,|x-2|2,解得x4或x0.3.C解析 由|x-2|2,得0x2,得x3或x-3,取交集得3x0,得ax2+(ab-1)x-b0.其解集是(-1,3),a0,且1-aba=2,-ba=-3,解得a=-1或13,a=-1,b=-3.f(x)=-x2+2x+3,f(-2x)=-4x2-4x+3.由-4x2-4x+30,解得x12或x0)取得最小值的最优解有无数个,则将l0向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1.选D.8.C解析 画出约束条件x+y0,x-2y+20的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.9.C解析 如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由x+y=2,2x-3y=9,解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.10.6解析 作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y=-32x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.11.1,32解析 画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1z4恒成立,则a0,数形结合知,满足12a+14,1a4即可,解得1a.故a的取值范围是1a.12.1a3解析 作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=ax的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是10,=1-4(a-1)2a0,解得a2+64,amin=2+64,故选A.15.2解析 画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-0,b0,由基本不等式,得2a+4b=842ab,即ab2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3解析 由x,y满足x+1y2x,得x+1y,y2x,x+12x,即x+1y,y2x,x1.作出不等式组对应的可行域,如图阴影部分所示.由x+1=y,y=2x,得A(1,2).令z=2y-x,即y=12x+12z.平移直线y=12x,当直线过点A(1,2)时,12z最小,zmin=22-1=3.17.4解析 a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.18.2解析 根据前三个约束条件x2,x-2y+40,2x-y-40作出可行域如图中阴影部分所示.因为存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
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