资源描述
专题综合检测练（六）(120分钟150分)第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018延安一模)设函数f(x)=xsin x在x=x0处取得极值,则(1+x02)(1+cos 2x0)的值为()A.1B.-1C.-2D.2【解析】选D.f(x)=sin x+xcos x,令f(x)=0得tan x=-x,所以tan2x0=x02,故(1+x02)(1+cos 2x0)=(1+tan2x0)2cos2x0=2cos2x0+2sin2x0=2.2.(2018开封一模)过点A(2,1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有()A.3条B.2条C.1条D.0条【解析】选A.由题意得,f(x)=3x2-3,设切点为(x0,x03-3x0),那么切线的斜率为k=3x02-3,则切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0),将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x03-6x02+7=0.令y=2x03-6x02+7,则y=6x02-12x0.由y=0得x0=0或x0=2.当x0=0时,y=70;x0=2时,y=-10且a1)的定义域是()A.(0,2B.(0,+)C.0,2D.-2,2【解析】选A.由不等式组2 019x-10,4-x20,解得0x2,所以所求的定义域为(0,2.4.(2018西安一模)设aR,函数的导函数是f(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为()A.ln 2B.-ln 2C.ln22D.-ln22【解析】选A.由题意可得,f(x)=ex-aex是奇函数,所以f(0)=1-a=0,所以a=1,f(x)=ex+1ex,f(x)=ex-1ex,因为曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,所以32=ex-1ex,解方程可得ex=2,所以x=ln 2.5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图象可知,当x0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(-,-2)上单调递增.当-2x1时,y=(1-x)f(x)0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(-2,1)上单调递减.当1x0,所以此时f(x)2时,y=(1-x)f(x) 0,故函数f(x)在(2,+)上单调递增.所以函数f(x)有极大值f(-2),极小值f(2).6.已知函数f(x)=ex,x0,x2+ax+1,x0, 若g(x)=f(x)-x-1有2个零点,则实数a的取值范围为()A.(-,0B.(-,1)C.1,+)D.(0,+)【解析】选B.因为g(x)=f(x)-x-1有2个零点,即f(x)-x-1=0有2个实数根,所以当x0时,令ex-x-1=0,解得x=0,此时只有一个实数根,当x0时,令f(x)-x-1=0,即x2+(a-1)x=0,即xx-(1-a)=0,此时解得x=1-a,要使得函数g(x)有2个零点,则1-a0,所以a0,b0,e是自然对数的底数,则下列命题正确的是()A.若ea+2a=eb+3b,则abB.若ea+2a=eb+3b,则abD.若ea-2a=eb-3b,则a0,b0,所以ea+2a=eb+3b=eb+2b+beb+2b.对于函数y=ex+2x (x0),因为y=ex+20,所以y=ex+2x在(0,+)上单调递增,因而ab成立.8.(2018宿州一模)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)+f(x)x0,则函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2【解析】选C.因为函数y=f(x)在R上是可导函数,当x0时,f(x)+f(x)x0,即是令h(x)=xf(x),即所以可得或所以当函数h(x)在x0时单调递增,所以h(x)h(0)=0,即当x0时,h(x)0.同理当x0.又因为函数g(x) =f(x)+1x可化为g(x)=xf(x)+1x,所以当x0时,g(x)0即与x轴没交点.当x0,所以函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为0.9.若函数f(x)=(x+1)ex,则下列命题正确的是()A.对任意m-1e2,都存在xR,使得f(x)-1e2,都存在xR,使得f(x)mC.对任意m-1e2,方程f(x)=m总有两个实根【解析】选B.因为f(x)=(x+1)ex=(x+1)ex+ex=(x+2)ex,故函数在区间(-,-2),(-2,+)上分别为减函数与增函数,故f(x)min=f(-2)=-1e2,故当m-1e2时,总存在x使得f(x)m.10.设函数f(x)=3sinxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(-,-6)(6,+)B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(1,+)【解析】选C.由正弦型函数的图象可知:f(x)的极值点x0满足f(x0)=3,则x0m=2+k(kZ),从而得x0=k+12m(kZ).所以不等式x02+f(x0)2m2即为k+122m2+33,其中kZ.由题意,存在整数k使得不等式m21-k+1223成立.当k-1且k0时,必有k+1221,此时不等式显然不能成立,故k=-1或k=0,此时,不等式即为34m23,解得m2.11.若对任意的a12,+,函数f(x)=12x2-ax-2b与g(x)=2aln(x-2)的图象均有交点,则实数b的取值范围是()A.1516+12ln2,+B.158+ln2,+C.12,1516+12ln2D.1516+12ln2,+【解析】选A.依题意,原问题等价于对任意的a12,+,关于x的方程12x2-ax-2aln(x-2)=2b有解.设h(x)=12x2-ax-2aln(x-2),则h(x)=x-a-2ax-2 =x(x-a-2)x-2,所以h(x)在(2,a+2)上单调递减,在(a+2,+)上单调递增,当x2时h(x)+,当x+时,h(x)+,h(a+2)=-12a2-2aln a+2,记p(a)=-12a2-2aln a+2,则h(x)的值域为p(a),+),故2bp(a),+)对任意的a12,+恒成立,即2bp(a)max,而p(a)=-a-2ln a-2-12+2ln 2-20,x1,e时f(x)0,所以函数f(x)在1e,1上单调递增,在1,e上单调递减,所以f(x)极大值=f(1)=-1,又f(e)=2-e2,f1e=-2-1e2,f(e)0)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为_.【解析】函数y=x2+aln x(a0)的定义域为x|x0,y=2x+ax22a=4,则a=2,当且仅当x=1时“=”成立,将x=1代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).答案:(1,1)14.(2018达州一模)有任意a,b满足0abt,都有bln aaln b,则t的最大值为_.【解析】因为0abt,bln aaln b,所以lnaalnbb(a0,解得:0xe,故t的最大值是e.答案:e15.设函数f(x)=ex+x-a(aR,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是_.【解析】因为y0=sin x0-1,1,而f(x)0,f(f(y0)=y0,所以y00,1,设 ex+x-a=x,x0,1,所以ex+x-x2=a在x0,1上有解,令g(x)=ex+x-x2,则g(x)=ex+1-2x.设h(x)=ex+1-2x,则h(x)=ex-2.所以当x(0,ln 2)时,h(x)0.所以g(x)g(ln 2)=3-2ln 20,所以g(x)在0,1上单调递增,所以原题中的方程有解必须方程有解.所以g(0)ag(1).答案:1,e16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导数,f(x)是函数f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=13x3-12x2+3x-512,请你根据上面探究结果,计算f12 020+f22 020+f2 0182 020+f2 0192020=_.【解析】由题意可得f(x)=13x3-12x2+3x-512,所以f(x)=x2-x+3,所以f(x)=2x-1.令f(x)=0可得x=12,所以函数f(x)的拐点即对称中心为12,1,即如果x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=2,所以f12 020+f22 020+f2 0182 020+f2 0192 020=1 0092+1=2 019.答案:2 019三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)已知f(x)=2x-1x-aln x(aR).(1)当a=3时,求f(x)的单调区间.(2)设g(x)=f(x)-x+2aln x,且g(x)有两个极值点,其中x10,1,求g(x1)-g(x2)的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0,+),a=3时,f(x)=2x-1x-3ln x,f(x)=2+1x2-3x=(2x-1)(x-1)x2,令f(x)0,计算得出:x1或x12,令f(x)0,计算得出:12x1,所以f(x)在0,12递增,在12,1递减,在(1,+)递增.(2)因为g(x)=f(x)-x+2aln x=x-1x+aln x,其定义域为(0,+),求导得,g(x)=1+1x2+ax=x2+ax+1x2,若g(x)=0两根分别为x1,x2,则有x1x2=1,x1+x2=-a,所以x2=1x1,从而有a=-x1-1x1,则g(x1)-g(x2)=x1-1x1+-x1-1x1ln x1-1x1-x1+-x1-1x1ln1x1=2-x1-1x1ln x1+x1-1x1,令H(x)=2-x-1xlnx+x-1x,则H(x)=21x2-1ln x=2(1-x)(1+x)lnxx2,当x(0,1时,H(x)0,所以H(x)在(0,1上单调递减,又H(x1)=g(x1)-g1x1=g(x1)-g(x2),所以g(x1)-g(x2)的最小值为H(x)min=H(1)=0.18.(12分)已知函数f(x)=mx-nx-ln x,m,nR.(1)若函数f(x)在(2,f(2)处的切线与直线x-y=0平行,求实数n的值.(2)试讨论函数f(x)在区间1,+)上的最大值.(3)若n=1时,函数f(x)恰有两个零点x1,x2(0x12.【解析】(1)由f(x)=n-xx2,f(2)=n-24,由于函数f(x)在(2,f(2)处的切线与直线x-y=0平行,故n-24=1,解得n=6.(2)f(x)=n-xx2(x0),由f(x)n;f(x)0时,x1,f(x)在1,n)上单调递增,在n,+)上单调递减,故f(x)在1,+)上的最大值为f(n)=m-1-ln n.(3)若n=1时,函数f(x)恰有两个零点x1,x2(0x11,则ln t=t-1tx1,x1=t-1tlnt,于是x1+x2=x1(t+1)=t2-1tlnt,所以x1+x2-2=2(t2-12t-lnt)lnt,记函数h(t)=t2-12t-ln t,因h(t)=(t-1)22t20,所以h(t)在(1,+)上递增,因为t1,所以h(t)h(1)=0,又t=x2x11,ln t0,故x1+x22成立.19.(12分)(2018南京一模)已知函数f(x)=lnxx,g(x)=38x2-2x+2+xf(x).(1)求函数y=g(x)的单调区间.(2)若函数y=g(x)在en,+)(nZ)上有零点,求n的最大值.【解析】(1)由题知g(x)的定义域为(0,+).因为g(x)=(3x-2)(x-2)4x,所以函数g(x)的单调递增区间为0,23和2,+),g(x)的单调递减区间为23,2.(2)因为g(x)在x23,+上的最小值为g(2),且g(2)=3822-4+2+ln 2=ln 2-12=ln4-120,故g(x)在x23,+上没有零点.从而,要想使函数g(x)在en,+)(nZ)上有零点,并考虑到g(x)在0,23上单调递增,且在23,2上单调递减,故只需en0,g(e-2)=381e4-2e2+2+ln e-2=1e2381e2-20.当n-2且nZ时均有g(en)0时,f(x)x0,得0x1,由f(x)0,得12x1,所以f(x)的单调递增区间为0,12和(1,+),单调递减区间为12,1.(2)由f(x)xf(x)2,得lnxx+a2x-(a+1)12x+ax2-a+12,即lnxx-12x0,得0xe32,因而h(x)在0,e32上单调递增,由h(x)e32,因而h(x)在e32,+)上单调递减.所以h(x)的最大值为h(e32)=e-32,所以a+12e-32,故a2e-32-1.从而实数a的取值范围为(2e-32-1,+).21.(12分)(2018山东省实验中学一模)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值.(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+121+1221+12nm,求m的最小值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f12=-12+aln 20,由f(x)=1-ax=x-ax知,当x(0,a)时,f(x)0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-ln x0.令x=1+12n,得ln1+12n12n.从而ln1+12+ln1+122+ln1+12n12+122+12n=1-12n1.故1+121+1221+12n2,所以整数m的最小值为3.22.(14分)(2018洛阳一模)已知a为实数,函数f(x)=aln x+x2-4x.(1)是否存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值?证明你的结论.(2)设g(x)=(a-2)x,若x01e,e,使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ax+2x-4=2x2-4x+ax.假设存在实数a,使f(x)在x=1处取极值,则f(1)=0,所以a=2,此时,f(x)=2(x-1)2x,当x0时,f(x)0恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以x=1不是f(x)的极值点.故不存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值.(2)由f(x0)g(x0),得(x0-ln x0)ax02-2x0,记F(x)=x-ln x(x0),所以F(x)=x-1x(x0),所以当0x1时,F(x)1时,F(x)0,F(x)单调递增.所以F(x)F(1)=10,所以ax02-2x0x0-lnx0,记G(x)=x2-2xx-lnx,x1e,e,所以G(x)=(2x-2)(x-lnx)-(x-2)(x-1)(x-lnx)2=(x-1)(x-2lnx+2)(x-lnx)2.因为x1e,e,所以2-2ln x=2(1-ln x)0,所以x-2ln x+20,所以x1e,1时,G(x)0,G(x)单调递增,所以G(x)min=G(1)=-1,所以aG(x)min=-1.故实数a的取值范围为-1,+).【提分备选】1.已知定义在R上的函数y=fx满足:函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且当x-,0时,fx+xfxbcB.bacC.cabD.acb【解析】选A.易知f(x)的图象关于y轴对称,设F(x)=xf(x),当x(-,0)时,F(x)=f(x)+xf(x)0,所以F(x)在(-,0)上为减函数,且F(x)为奇函数,所以F(x)在R上是递减函数.因为0sin 12sin 6=12,12=lneln 21,所以Fsin 12F(ln 2)Flog1214,即abc.2.设函数fx=ln x-12ax2-bx,若x=1是fx的极大值点,则a的取值范围为()A.-1,0B.-1,+C.0,+D.-,-10,+【解析】选B.因为f(x)=ln x-12ax2-bx,所以x0,f(x)=1x-ax-b,由f(1)=0得b=1-a,所以f(x)=1x-ax+a-1=-(ax+1)(x-1)x,当a0时,由f(x)=0,得x=1,当0x0,此时f(x)单调递增;x1时,f(x)0,此时f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点;当a1,解得-1a-1.3.设函数f(x)=ex(x3-3x+3)-aex-x(x-2),若不等式f(x)0有解,则实数a的最小值为()A.1-1eB.2-1eC.1e-1D.1+e2【解析】选A.因为f(x)=ex(x3-3x+3)-aex-x0,所以ax3-3x+3-xex,令gx=x3-3x+3-xex,gx=3x2-3+x-1ex=x-13x+3+1ex,故当x-2,1时,gx0,故gx在x-2,1上是减函数,在x1,+上是增函数,故gxmin=g1=1-3+3-1e=1-1e.4.已知aR,若f(x)=x+axex在区间0,1上只有一个极值点,则a的取值范围为()A.a0B.a1C.a1D.a0【解析】选A.易得f(x)=exx3+x2+ax-ax2,设h(x)=x3+x2+ax-a,则h(x) =3x2+2x+a,当a0时,h(x)0在(0,1)上恒成立,即函数在(0,1)上为增函数,而h(0)=-a0,则函数h(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点x0,使f(x0)=0,且在(0,x0)上,f(x)0,故x=x0为函数f(x)在(0,1)上唯一的极小值点;当a=0时,h(x)=3x2+2x0在区间(0,1)上恒成立,则函数h(x)在区间(0,1)上为增函数,又h(0)=0,所以h(x)0在区间(0,1)上恒成立,所以f(x)在区间(0,1)上无极值;当a0成立,即f(x)0成立,故函数f(x)在区间(0,1)上为单调增函数,所以函数f(x)在区间(0,1)上无极值,综上,a0.5.已知定义在0,+上的函数fx,满足:(1)fx0;(2)fxfx 2fx(其中fx是fx的导函数),则f1f2的取值范围为()A.12e2,1eB.1e2,1eC.e,2eD.e,e3【解析】选B.构造函数g(x)=f(x)ex,x(0,+),则由f(x)0在(0,+)上恒成立,则函数g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(1)g(2),即f(1)e0,所以f(1)f(2)ee2,即f(1)f(2)1e.构造函数h(x)=f(x)(ex)2,x(0,+),又f(x)2f(x),所以h(x)h(2),即f(1)e2f(2)e4,又因为f(x)0,所以f(1)f(2)e2e4,即f(1)f(2)1e2,所以1e2f(1)f(2)0可得:-3x3,即函数fx在区间-3,3上是增函数,在区间-,-3和区间3,上是减函数,观察所给选项,只有A选项符合题意.
展开阅读全文