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4.4三角函数的最值与综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2017浙江,18三角函数的最小正周期、单调区间三角函数的恒等变换2015浙江文,11三角函数的最小值与最小正周期三角函数的恒等变换2014浙江,17三角函数的实际应用函数的最值分析解读1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计2020年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点三角函数的最值与综合应用1.(2018浙江镇海中学单元测试,12)函数f(x)=sin 2x+e|sin x+cos x|的最大值与最小值之差等于.答案e2+12.(2018浙江宁波模拟(5月),18(1)已知函数f(x)=4cos xsinx-6-1.求函数f(x)的单调递增区间.解析f(x)=4cos x32sinx-12cosx-1=3sin 2x-cos 2x-2=2sin2x-6-2,由于-+2k2x-+2k,kZ,所以-+kx0,02的图象过点4,2+1,且相邻的两个最高点与最低点的距离为2+642.(1)求函数f(x)的解析式和单调增区间;(2)若将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,求g(x)在12,3上的值域.解析(1)由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为2+642,可得2+42=2+6422,解得=2.f4=2sin2+1=2+1,sin2+=22.又00,|2,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536上单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B2.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案53.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.答案14.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f 6=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-cos x-cos x=32sin x-cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,0)的图象变换:由y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sin x的图象y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.教师专用题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时, f(x)-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=32cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+32cos 2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明:因为-x,所以-2x+56.所以sin2x+3sin-6=-.所以当x-4,4时, f(x)-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)-时容易忽视x的取值范围.2.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x- cos 2x=34sin 2x-cos 2x=sin2x-6.所以, f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数, f -3=-, f -6=-, f4=34.所以, f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.3.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=3sin(x+)0,-22的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f2=34623,求cos+32的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2T=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,k=0,1,2,.由-得k=0,所以=-23=-6.(2)由(1)得f2=3sin22-6=34,所以sin-6=.由23得0-,所以cos-6=1-sin2-6=1-142=154.因此cos+32=sin =sin-6+6=sin-6cos+cos-6sin=32+154=3+158.4.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin3x+4.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f3=cos+4cos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-2+2k,2+2k,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+2k3x12+2k3,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为-4+2k3,12+2k3,kZ.(2)由已知,有sin+4=cos+4(cos2-sin2),所以sin cos+cos sin=45coscos4-sinsin4(cos2-sin2).即sin +cos = (cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=34+2k,kZ.此时,cos -sin =-2.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-52.综上所述,cos -sin =-2或-52.评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.5.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,又0t24,所以12t+11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin12t+3,故有10-2sin12t+311,即sin12t+3-.又0t24,因此7612t+116,即10t18.在10时至18时实验室需要降温.评析考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,10)已知x0,6,y0,6,且xtan y=2(1-cos x),则() A.yB. yC. yx答案C2.(2018浙江镇海中学阶段测试,4)有4个关于x的函数:y1=sin x+cos x,y2=sin x-cos x,y3=sin xcos x,y4=sinxcosx.这4个函数中,在0,2上单调递增的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)3.(2019届浙江高考信息卷(二),14)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR, f(x)在区间-3,4上的最大值是,最小值是.答案34;-4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数f(x)=sin(x+)0,|0,|2的图象与坐标轴交于点A,B,C-12,0,直线BC交f(x)的图象于另一点D,O是ABD的重心.(1)求;(2)求ACD的外接圆的半径.解析(1)O是ABD的重心,C-12,0,A(1,0),=1-12=,即最小正周期T=3.T=2=3,=23.由f(1)=0,得sin23+=0,23+=k,kZ,又|,=.(2)由(1)得f(x)=sin23x+3,B0,32.又C-12,0,BCO=60.又由已知得点C-12,0是BD的中点,D-1,-32,|AD|=4+34=192.ADsinACD=192sin120=573,ACD的外接圆的半径为576.
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