中考数学培优满分专题突破 专题2 图形变式与拓展.doc

专题2图形变式与拓展常考类型分析专题类型突破类型1 关于三角形的变式拓展问题【例1】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图1，若AOOB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AOOB.求证：ACBD，AC BD；(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求【思路分析】通过观察可以猜想AO与BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决【解】(1)AOBD，AOBD.(2)证明：如图1，过点B作BECA交DO于点E，延长AC交DB的延长线于点F.ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOC BOE. ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45.245，BEBD，EBD90.ACBD.BEAC，AFD90.ACBD.(3)如图2，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由(2)的方法易得 BEBD.满分技法图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决满分变式必练1.已知ABC中，ABAC，BC6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1，过点P作PFAQ交BC于点F，求证：PDFQDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PEBC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由解：(1)ABAC，BACB.PFAC，PFBACB. BPFB.BPFP.由题意，得BPCQ，FPCQ.PFAC，DPFDQC.又PDFQDC，PDFQDC.(2)如图，过点P作PFAC交BC于点F.点P为AB的中点，(3)线段DE的长度保持不变如图，过点P作PFAC交BC于点F.由(1)知，PBPF.PEBC，BEEF.由(1)知，PDFQDC，CDDF.2.如图1，ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连接BD.(1)求证：BDAC；(2)将BHD绕点H顺时针旋转，得到EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC4，tanC3，求AE的长；如图3，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由解：(1)在RtAHB中，ABC45，AHBH.在BHD和AHC中， BHDAHC(SAS)BDAC.(2)在RtAHC中，tanC3，设CHx，则BHAH3x.BC4，3xx4.x1.AH3，CH1.由旋转，知EHFBHDAHC90，EHAH3，FHDHCH1，EHAFHC.EAHC.tanEAHtanC3.如图，过点H作HPAE于点P，HP3AP，AE2AP.在RtAHP中，AP2HP2AH2，AP2(3AP)29. EF2GH.理由如下：设AH与CG交于点Q，由知，AEH和FHC都为等腰三角形又旋转角为30，FHDBHE30.EHAFHC120.HCGGAH30.AGQCHQ.AGQCHQ90.又GQHAQC，GQHAQC. 3.教材改编题(1)问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则AEB的度数为_，线段AD，BE之间的关系为_；(2)拓展探究：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE.请判断AEB的度数，并说明理由；当CM5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长解：(1)60相等(2)AEB90.理由如下：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE为等腰直角三角形，CDECED45.点A，D，E在同一直线上，ADC135，BEC135.AEBBECCED90.在等腰RtDCE中，DCE90，CMDE，则有DMCMME5.在RtACM中，AM2CM2AC2.设BEADx，则AC6x.(x5)252(x6)2，解得x7.AEADDMME17.类型2 关于四边形的变式拓展问题【例2】如图1，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且DE (不需要证明)【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：.(只添加一个条件)(2)如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AOOC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为.【思路分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出EFHG，EFGH，继而可判断出四边形EFGH的形状【应用】(1)同【探究】的方法判断出 即可判断出EFFG，即可得出结论；(2)先判断出SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，进而得出 再判断出OMON，进而得出解：【探究】四边形EFGH是平行四边形证明：如图1，连接AC.E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，综上，EFHG，EFHG.故四边形EFGH是平行四边形【应用】(1)添加ACBD.理由：连接AC，BD，ACBD，EFFG.又四边形EFGH是平行四边形，EFGH是菱形故答案为：ACBD.(2)如图2，由【探究】，得四边形EFGH是平行四边形F，G分别是BC，CD的中点，SBCD4SCFG.同理，SABD4SAEH.四边形ABCD面积为5，设AC与FG，EH相交于点M，N，EF与BD相交于点P.OAOC，OMON.易知，四边形ENOP，FMOP是面积相等的平行四边形满分技法此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出 解【应用】的关键是判断出 是一道基础题目满分变式必练1.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题；(2)如图2，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论解：(1)四边形EFGH是平行四边形，理由如下：如图，连接AC，E是AB的中点，F是BC的中点，EFHG，EFHG.故四边形EFGH是平行四边形(2)当ACBD时，四边形EFGH为菱形理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，当ACBD时，FGHG.EFGH是菱形当ACBD时，四边形EFGH为矩形2.如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长解：(1)证明：根据折叠的性质，得DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)四边形ABCD是矩形，ADBC.FDBG.又DGBE，即DGBF，四边形BFDG是平行四边形DFBF，四边形BFDG是菱形AB6，AD8，假设DFBFx，AFADDF8x.在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2.3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CEBF.连接DE，过点E作EGDE，使EGDE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是 ；(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断解：(1)FGCEFGCE(2)成立证明：如图，过点G作GHCB的延长线于点H，EGDE，GEHDEC90.GEHHGE90，DECHGE.在HGE与CED中，HGECED(AAS)GHCE，HECD.CEBF，GHBF.GHBF，四边形GHBF是平行四边形FGBH，FGCH.FGCE.四边形ABCD是正方形，CDBC.HEBC.HEEBBCEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立类型3 关于圆的变式拓展问题【例3】如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN8，点P为半圆上一点，设MOP.当 度时，点P到CD的距离最小，最小值为.探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角BMO 度，此时点N到CD的距离是.探究二将图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转(1)如图3，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围【思路分析】在“思考”的图1中，当OPCD时，点P到CD的距离最小；在“探究一”的图2中，半圆形纸片不能再转动时，O与CD相切于点Y；在“探究二”的图3中，当PMAB时，点P到CD的距离最小；当 与AB相切时，旋转角BMO的度数最大图4中，当弦MP6时，取最小值；当 与CD相切于点P时，即半径OPCD于点P时，取最大值解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当90度时，点P到CD的距离最小MN8，OP4.点P到CD的距离最小值为642.故答案为：90,2.探究一：以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图1，MN8，MO4，OY4.UO2.得到最大旋转角BMO30度，此时点N到CD的距离是2.图1故答案为：30,2.探究二：(1)由已知得M与P的距离为4，当MPAB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时， 与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.(2)如图2，由探究一可知，点P是 与CD的切点时，达到最大，即OPCD.此时延长PO交AB于点H，图2最大值为OMHOHM3090120.如图3，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小，连接MP，作OHMP于点H，由垂径定理，得MH3，在RtMOH中，MO4，图3MOH49. 2MOH98，最小为98.的取值范围是98120.满分技法在拓展变化的图形中求最值(比如最大(小)距离，角的最大(小)度数，线段的最大(小)长度等)，关键是确定相关图形的特殊位置；确定几何图形中角度的取值范围，要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况另外，几何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，是很困难的，比如“思考”中，为什么OPAB时点P到CD的距离最小？“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时，O与CD相切于点P？“探究二”(1)中，为什么MPAB时点P到CD的距离最小？为什么当 与CD相切于点P时，旋转角BMO的度数最大？(2)中，为什么当弦MP6时，取最小值；为什么当半径OPCD于点P时，取最大值？对于这些问题，在考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验 满分变式必练1.如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，ACB90，BAC30，OD3cm，开始的时候BD1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动(1)当点B与点O重合时，求三角板运动的时间；(2)三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示求证：EF平分AEC；求EF的长解：(1)当点B与点O重合时，BOODBD4(cm)，三角板运动的时间为2s.(2)证明：如图，连接点O与切点F，则OFAC.ACE90，ECAC.OFCE.OFECEF.OFOE，OFEOEF.OEFCEF，即EF平分AEC.由知，OFAC.AFO是直角三角形BAC30，OFOD3cm， 2.如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：(1)若R2，m1，如图1，当旋转30时，圆心O到射线AB的距离是 .如图2，当时，半圆O与射线AB相切；(2)如图3，在(1)的条件下，为了使得半圆O转动30即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由；发现：(3)如图4，在090时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cos 与R，m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cos ；(用含有R，m的代数式表示)拓展：(4)如图5，若Rm，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，的取值范围是，并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用m表示)解：(1)如图1，作OEAB于点E，MFOE于点F，则四边形AMFE是矩形，EFAM1.在RtMFO中，MOF30，MO2，如图2，设切点为F，连接OF，作OEOA于点E，则四边形OEAF是矩形AEOF2.AM1，EM1.(2)如图3，设切点为P，连接OP，作MQOP，则四边形APQM是矩形在RtOMQ中，OMR，MOQ30，(3)如图4，设切点为P，连接OP，作MQOP，则四边形APQM是矩形在RtOQM中，OQRcos，QPm.OPR，RcosmR. (4)如图5，当半圆与射线AB相切时，此时90，之后开始出现两个交点；当N落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时，MN2AM，AMN60.120.当半圆弧线与射线AB有两个交点时，的取值范围是90120.故答案为：90120.当N落在AB上时，阴影部分面积最大，3.如图1至图5，O均作无滑动滚动，O1、O 2、O3、O4均表示O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，O的周长为C.阅读理解：(1)如图1，O从O1的位置出发，沿AB滚动到O2的位置，当ABc时，O恰好自转1周；(2)如图2，ABC相邻的补角是n，O在ABC外部沿ABC滚动，在点B处，必须由O1的位置旋转到O2的位置，O绕点B旋转的角O1BO2n，O在点B处自实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若AB2c，则O自转周；若ABl，则O自转周在阅读理解的(2)中，若ABC120，则O在点B处自转周；若ABC60，则O在点B处自转周；(2)如图3，ABC90， O从O1的位置出发，在ABC外部沿ABC滚动到O4的位置，O自转周拓展联想：(1)如图4，ABC的周长为l，O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，O自转了多少周？请说明理由；(2)如图5，多边形的周长为l，O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出O自转的周数4.平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(060)发现(1)当0，即初始位置时，点P_直线AB上(填“在”或“不在”)求当是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；图1图2(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时求及S阴影拓展如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BMx(x0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围解：发现(1)在当OQ过点B时，在RtOAB中，AOAB，得DOQABO45，604515.故15时，OQ经过点B.(2)如图1，连接AP，有OAAPOP，当OP过点A，即60时，等号成立APOPOA211.当60时，点P，A间的距离最小PA的最小值为1.(3)如图1，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E.在RtOPH中，PHAB1，OP2，POH30.603030.由ADBC知，RPQPOH30.RKQ23060.拓展OANMBN90，ANOBNM，AONBMN.探究半圆与矩形相切，分三种情况：如图3，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O，则KSOKTB90，作KGOO于点G.在RtOSK中，