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第二章二次函数（1）一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；二、课时安排1课时三、复习重难点用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；四、教学过程（一）知识梳理1二次函数的概念 一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数 注意 (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数 2二次函数的图象 二次函数的图象是一条 ，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴 注意 二次函数yax2bxc的图象的形状、大小、开口方向只与a有关 3二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数yax2的图象可得到二次函数ya(xh)2k的图象注意 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减（二）题型、方法归纳类型一二次函数的定义应用例1已知抛物线y(m1)xm2m的开口向下，求m的值解析 本题容易考虑不全面，只考虑m10，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m10且m2m2，即m2. 解：根据题意，得解得m2.解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关类型二二次函数图象的平移例2如果将抛物线yx2bxc沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线yx22x1，则b_，c_. 解析 yx22x1(x1)2，yx2bxc2，又抛物线y(x1)2是y2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y2可看作是y(x1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的y2(x12)23，即yx2bxcx26x93x26x6，b6，c6.在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答类型三二次函数与一次函数的综合应用例3已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X21)(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)PEB的面积与PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论 解析 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式解：(1)A(0,1)，B(0，1)，C(4，1)，D(4,1)，E(2,1)(2)设抛物线的表达式为：ya(x2)21，抛物线经过点B(0，1)，a(02)211，解得a.抛物线的表达式为：y (x2)21.经验证，抛物线y(x2)21经过点C(4，1)(3)直线BD的表达式为：yx1，解方程组 得点P的坐标为.(4)SPEB SPBC .SPBC 43.过P，E分别作PPBC，EEBC，垂足分别为P，E，SPEB2213，SPEBSPBC.类型四二次函数的图象和性质的应用例4已知抛物线yax2bxc(a0)过A(2,0)，O(0,0)，B(3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是() Ay1y2By1y2 Cy1y2 D不能确定解析 A结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断类型五求二次函数的表达式例5已知二次函数yx2bxc的图象如图X22所示，它与x轴的一个交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围解析 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围解：(1)把(1,0)，(0,3)分别代入yx2bxc，得解得所以yx22x3.(2)令y0，得x22x30，解得x11，x23，所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是1x3.求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式yax2bxc；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式ya(xh)2k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式ya(xx1)(xx2)（三）典例精讲例6如图，已知二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A(1,0)和点B(0，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标解析 把点A(1,0)和点B(0，5)代入表达式即可求出a和c的值，ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性解：(1)根据题意，得解得二次函数的表达式为yx24x5.(2)令y0，得二次函数yx24x5的图象与x轴的另一个交点坐标C(5,0)由于P是对称轴x2上一点，连接AB(如图X24)，由于AB，要使ABP的周长最小，只要PAPB最小由于点A与点C关于对称轴x2对称，连接BC交对称轴于点P，则PAPBBPPCBC，根据两点之间，线段最短，可得PAPB的最小值为BC.因而BC与对称轴x2的交点P就是所求的点设直线BC的表达式为ykxb，根据题意，可得解得所以直线BC的表达式为yx5.因此直线BC与对称轴x2的交点坐标是方程组的解，解得所求点P的坐标为(2，3)（四）归纳小结说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式； （五）随堂检测1.二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数ybxa的图象不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2已知二次函数yax2bxc中，函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1x12,3x2y2 By10，y20 By10，y20Cy10 Dy10，y204抛物线yx2bxc的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为yx22x3，则b、c的值为() Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2 5坐标平面上，若移动二次函数y2(x175)(x176)6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为()A向上移动3单位 B向下移动3单位C向上移动6单位 D向下移动6单位 6将抛物线yx22x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是_7.如图为抛物线yax2bxc的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OAOC1，则下列关系中正确的是()Aab1 Bab1 Cb2a Dac0 8.如图所示，若正方形的棱长不变，CMDM，NHEH，MN与CH的延长线交于P点，则tanNPH的值为_9.将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3,0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标【答案】1.D2.B3.B4.B5.D6. y(x5)22或yx210x27 7.B8.9. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A、B、C的抛物线解析式为yax2bxc，则解得：该抛物线的解析式为yx2x6.(2)如图，设点P(x,0)，PEAB，CPECBA.2.又SABCBCOA27，2.SCPEx24x12.SABPBPOA3x9.设APE的面积为S，则SSABCSABPSCPEx2x62.当x时，S最大值为.点P的坐标为.五、板书设计二次函数（1）1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；类型讲解： 典例精析：六、作业布置单元检测试题（一） 七、教学反思
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