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第六章圆第二节与圆有关的位置关系,考点精讲,与圆有关的位置关系,点与圆、直线与圆的位置关系切线的性质与判定三角形与圆,点与圆、直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点到圆心的距离为d)直线与圆的位置关系(设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d),点与圆的位置关系,点在圆外_，如图点A点在圆上_,如图点B点在圆内_,如图点C,dr,d=r,d,=,切线的性质与判定,切线：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点切线的性质定理：圆的切线_于过切点的半径切线性质的推论切线的判定切线长：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角(2011版课标选学内容),相等,垂直,切线性质的推论,1.经过圆心且垂直于切线的直线必过_2.经过切点且垂直于切线的直线必过_,圆心,切点,切线的判定方法,1.和圆有_公共点的直线是圆的切线2.如果圆心到一条直线的距离_圆的半径，那么这条直线是圆的切线3.经过半径的外端并且_于这条半径的直线是圆的切线(判定定理),垂直,一个,等于,三角形与圆,三角形的内切圆三角形的外接圆,三角形的内切圆,内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形内心定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心性质：三角形的内心到三角形三边距离_,相等,三角形的外接圆,外接圆的定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆三角形外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_,相等,重难点突破,切线的判定（难点）,例（2016柳州）如图，AB为ABC外接圆O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PAPC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.（1）求证：PAEPEC;（2）求证：PE为O的切线；（3）若B=30，AP=AC，求证：DO=DP.,例题图,【思维教练】（1）要证PAEPEC，由已知PE2=PAPC，可考虑利用“两边对应成比例且夹角相等”证明，将等积式转化为比例式，观察图形可知，两个三角形有公共角P,即可证得两个三角形相似；,例题图,证明：（1）PE2=PAPC，P=P，PAEPEC；,【思维教练】（2）要证PE为O的切线，首先我们会想到证角等于90，观察图形可知，OE为O的半径，所以只需证PEA+OEA=90,因为AB为O的直径，连接BE，AEB=90，由PAEPEC，OA=OE，可得PEA=PCE，OEA=OAE，又因为ABEACE，转换得到ACE+OAE=90，进而求得PCE+OAE=90，即可得证；,例题图,（2）如解图，连接BE.PAEPEC，PEA=PCE，OA=OE，OEA=OAE，AB是O的直径，AEB=90，ABE+BAE90，又ABEACE，OAE+ACE90，,例题解图,PEOPEA+OEAPCE+OAE90，即OEPE，OE为O的半径，PE是O的切线；,例题解图,【思维教练】（3）要证DO=DP，过点O作OHAC于点H，先观察DO，DP分别在DHO和DEP中，可通过证明DHODEP，利用全等三角形的对应边相等得到DODP，已知条件现已有HDOPDE，DHO=PED90，故只需找一组边对应相等，观察易知DH=DE不易证得，现考虑证明PE=OH，利用AAS得证.由已知PE2=PAPC，B=30，APAC，求得PEOH，即可证得.,例题图,（3）如解图，过点O作OHAC于点H，则AHO=90,AH=CH=AC,又AB是O的直径，ACB=AHO=90，BCOH,又B=30，AOH=B=30，AC=AB=OA=OB,OH=OA=AC，AP=AC,PE2=PAPC,例题解图,PE2=PA（PA+AC）=AC2,PE=AC=OH,在DHO和DEP中，HDO=PDEDHO=PED=90OH=PE,DHODEP（AAS），DO=DP.,例题解图,1.圆内证明两角相等的常用方法有：（1）同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆心角相等、圆周角相等；（2）同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆心角相等、圆周角相等；圆内证明两线段相等的常用方法有：（1）同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦相等；（2）同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等；（3）任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分；,圆内证明两个三角形相似的常用方法有：利用圆内证明两角相等的方法，通过证明角相等，进而得到两个三角形相似.2.解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系求解.,3.证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若未说明直线与圆有公共点，需要过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简记为“作垂直，证相等”；（2）若已知直线和圆有公共点，先连接圆心和已知的公共点，再证明这条半径和直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；（3）要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂直”.,
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